Balon mylarowy (geometria)

W geometrii balon mylarowy jest powierzchnią obrotową . Podczas gdy kula jest powierzchnią, która zawiera maksymalną objętość dla danej powierzchni , balon mylarowy zamiast tego maksymalizuje objętość dla danej długości łuku tworzącego . Przypomina lekko spłaszczoną kulę.

Kształt jest w przybliżeniu realizowany przez nadmuchanie fizycznego balonu wykonanego z dwóch okrągłych arkuszy elastycznego, nieelastycznego materiału; na przykład popularny rodzaj zabawkowego balonu wykonanego z aluminiowanego tworzywa sztucznego . Być może wbrew intuicji, powierzchnia nadmuchanego balonu jest mniejsza niż powierzchnia okrągłych arkuszy. Wynika to z fizycznego karbowania powierzchni, które zwiększa się w pobliżu obręczy.

„Balon mylarowy” to nazwa figury nadana przez W. Paulsona, który jako pierwszy zbadał kształt. Termin ten został następnie przyjęty przez innych pisarzy. „Mylar” jest znakiem towarowym firmy DuPont .

Definicja

Dodatnią częścią tworzącej balonu jest funkcja z ( x ) gdzie dla danej długości tworzącej a :

{\ Displaystyle z (r) = 0}

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {r} \! {\ sqrt {1+ z' (x) ^ {2}}} \, dx \, = a}

(tj. długość tworzącej jest podana)

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ { r}\!4\pi xz(x)\,dx}

to maksimum (tj. głośność jest maksymalna)

Tutaj promień r jest określany na podstawie ograniczeń.

Charakterystyka parametryczna

Równania parametryczne dla tworzącej balonu o promieniu r mają postać:

{\ Displaystyle x (u) = r \ sałata u; \ qquad z (u)=r{\sqrt {2}}\left[E(u,{\frac {1}{\sqrt {2}}})-{\frac {1}{2}}F(u,{ \frac {1}{\sqrt {2}}})\right]{\text{ for }}u\in [0,{\frac {\pi }{2}}]\,}

(gdzie E i F są całekami eliptycznymi drugiego i pierwszego rodzaju )

Pomiar

$obliczając$ (to znaczy odległość w poprzek osi obrotu z powyższych równań parametrycznych. Grubość wynosi około

τ ≈ 0,599 · 2 r .

Stosunek τ do r jest niezależny od rozmiaru balonu.

Stosunek długości łuku tworzącej a do promienia balonu wynosi w przybliżeniu

a / r ≈ 1,3110. (odnośnik stwierdza, że „a” to promień opróżnionego balonu, „r” to promień nadmuchanego balonu)

Objętość balonu jest dana wzorem:

{\ Displaystyle V = {\ Frac {2} {3}} \ pi ar ^ {2},}

gdzie a jest długością łuku tworzącej).

lub alternatywnie:

{\ Displaystyle V = {\ Frac {4} {3}} \ tau a ^ {2},}

gdzie τ jest grubością na osi obrotu

Geometria powierzchni

Stosunek głównych krzywizn w każdym punkcie balonu mylarowego wynosi dokładnie 2, co czyni go interesującym przypadkiem powierzchni Weingartena. Co więcej, ta pojedyncza właściwość w pełni charakteryzuje balon. Balon jest wyraźnie bardziej płaski na osi obrotu; ten punkt w rzeczywistości ma zerową krzywiznę w dowolnym kierunku.

Zobacz też

Problem z papierową torbą

Mladenov, IM (2001). „O geometrii balonu mylarowego”. CR Acad. Bulg. nauka 54 : 39–44. Bibcode : 2001CRABS..54i..39M .
Paulsen, WH (1994). „Jaki jest kształt mylarowego balonu?”. Amerykański miesięcznik matematyczny . 101 (10): 953–958. doi : 10.2307/2975161 . JSTOR 2975161 .
Finch, Steven (13 sierpnia 2013). „Nadmuchiwanie nieelastycznej membrany” (PDF) .