Biarc

Ryc. 1

Dwuarc to gładka krzywa utworzona z dwóch okrągłych łuków . Aby biarc był gładki ( G ¹ ciągły ), dwa łuki powinny mieć tę samą styczną w punkcie połączenia, w którym się spotykają.

Biarcs są powszechnie stosowane w modelowaniu geometrycznym i grafice komputerowej . Można ich używać do aproksymacji splajnów i innych płaskich krzywych poprzez umieszczenie dwóch zewnętrznych punktów końcowych dwułuku wzdłuż aproksymowanej krzywej ze styczną pasującą do krzywej, a następnie wybranie punktu środkowego, który najlepiej pasuje do krzywej. Ten wybór trzech punktów i dwóch stycznych określa unikalną parę łuków kołowych, a zbiór punktów środkowych, dla których te dwa łuki tworzą biarc, sam jest łukiem kołowym. W szczególności, aby przybliżyć krzywą Béziera w ten sposób, środkowy punkt dwułuku należy wybrać jako środek trójkąta utworzonego przez dwa punkty końcowe krzywej Béziera i punkt, w którym spotykają się ich dwie styczne. Mówiąc bardziej ogólnie, krzywą można przybliżyć za pomocą gładkiej sekwencji dwułuków; użycie większej liczby dwułuków w sekwencji ogólnie poprawi bliskość przybliżenia do oryginalnej krzywej.

Przykłady krzywych biarc

1. W poniższych przykładach biarcs $J) B$ poprzedzone cięciwą ${\ displaystyle A$ a punkt połączenia jest $}$$Displaystyle$ w punkcie początkowym wynosi $\ mathbf {n} (\ alfa)}$ i jest ${\ Displaystyle \ mathbf {n} (\ beta)}$ styczna w punkcie końcowym ${\ displaystyle B:}$
   $${\ Displaystyle \ mathbf {n} (\ alfa) = \ lewo \|\ cos \ alfa, \, \ sin \ alfa \ prawo \|^ {T}, \ quad \ mathbf {n} (\ beta) = \ left\|\cos \beta ,\,\sin \beta \right\|^{T}.}$$

    

    

    

    

   ()

2. ${\ displaystyle AJB.}$ sześć przykładów dwułuków
   • Biarc 1 jest rysowany z ${\ Displaystyle \ alfa = 100 ^ {\ circ}, \; \ beta = 30 ^ {\ circ}.}$ Biarcs 2-6 mają ${\ Displaystyle \ alfa = 100 ^ {\ circ}, \; \ beta = -30 ^ {\ circ}.}$
   • W przykładach 1, 2, 6 krzywizna zmienia znak, a punkt połączenia $.$ również punktem przegięcia Biarc 3 obejmuje odcinek linii prostej ${\ displaystyle JB}$ .
   • Biarcs 1-4 są krótkie w tym sensie, że nie skręcają w pobliżu punktów końcowych. Alternatywnie dwułuki 5,6 są długie : obrót w pobliżu jednego z punktów końcowych oznacza, że ​​przecinają lewe lub prawe dopełnienie cięciwy do nieskończonej prostej.
   • Biarcs 2–6 mają wspólne styczne końcowe. Można je znaleźć w dolnym fragmencie ryc. 3, wśród rodziny biarków o wspólnych stycznych.
3. Ryc. 3 przedstawia dwa przykłady rodzin biarc, dzielących punkty końcowe i styczne końcowe.
4. Ryc. 4 przedstawia dwa przykłady rodzin biarc, dzielących punkty końcowe i styczne końcowe, przy czym styczne końcowe są równoległe: ${\ Displaystyle \ alfa = \ beta.}$
5. Ryc. 5 przedstawia określone rodziny z ${\ Displaystyle |\ alfa |= \ pi}$ lub ${\ Displaystyle |\ beta | = \ pi.}$

Ryc. 2. Przykłady biarków

Rys. 3. Rodziny Biarcs ze wspólnymi stycznymi (dwa przykłady)

Ryc. 4. Rodziny Biarcs z równoległymi stycznymi końcowymi

Ryc. 5. Rodziny Biarcs z ${\ Displaystyle |\ alfa |= \ pi}$ lub ${\ Displaystyle |\ beta | = \ pi}$

Różne kolory na rysunkach 3, 4, 5 są wyjaśnione poniżej jako podrodziny $}$$} {\ mathcal {B}} _ {1} ^ {\, -}}$ mathcal {B}} ^ {\, , ${\ Displaystyle \ kolor {zielony} {\ mathcal {B}} _ {2} ^ {\, -}}$ . W szczególności dla biarków, pokazanych na brązowo na zacienionym tle ( soczewki lub przypominającego księżyc ), obowiązuje:

• $\ beta -\ alfa \ pm 2$ krzywej jest dokładnie równy (nie , czyli $Displaystyle$ } rotacja dla innych biarków);
• ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {sgn} (\ alfa + \ beta) = \ nazwa operatora {sgn} (k_ {2} -k_ {1})}$ : suma to $księżyca , obejmująca biarc,$ odpowiada rosnącej (+1) lub malejącej krzywiźnie (-1) biarc, zgodnie z uogólnionym twierdzeniem Vogta ( Теорема Фогта # Обобщение теоремы ).

Rodzina dwułuków ze wspólnymi stycznymi końcowymi

Rodzina biarków ze wspólnymi punktami końcowymi i wspólnymi stycznymi końcowymi ${\ Displaystyle A = (-c, 0)}$ , ${\ Displaystyle B = (c, 0)}$ (1) jest oznaczony jako ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (p; \, \ alfa, \ beta, c)}$ lub, krótko, jako ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (p),}$${\ displaystyle p}$ jest parametrem rodziny. Właściwości Biarc opisano poniżej w odniesieniu do artykułu.

1. Konstruowanie biarc jest możliwe, jeśli
   $${\ Displaystyle - \ pi \ leqslant \ alfa \ leqslant \ pi, \ quad - \ pi \ leqslant \ beta \ leqslant \ pi, \ qquad 0 <|\ alfa + \ beta | <2 \ pi.}$$

    

    

    

    

   ()

2. Oznaczać
   • ${\ Displaystyle k_ {1}}$ , ${\ Displaystyle \ theta _ {1}}$ i ${\ Displaystyle L_ {1}}$ krzywizna, kąt skrętu i długość łuku ${\ displaystyle AJ}$ : ${\ Displaystyle \ teta _ {1} = k_ {1} L_ {1}}$ ;
   • ${\ Displaystyle k_ {2}}$ , ${\ Displaystyle \ theta _ {2}}$ i ${\ Displaystyle L_ {2}}$ to samo dla łuku ${\ Displaystyle JB}$ : ${\ Displaystyle \ teta _ {2} = k_ {2} L_ {2}}$ .
   Następnie
   $${\ styl wyświetlania k_{1}(p)=-{\frac {1}{c}}\left(\sin \alpha +p^{-1}\sin \omega \right),\quad k_{2}(p )={\frac {1}{c}}\left(\sin \beta +p\sin \omega \right),\quad {\text{gdzie}}\quad \omega ={\frac {\alpha + \beta }{2}}}$$
   (ze względu na (2) , ${\ Displaystyle \ sin \ omega \ not = 0}$ ). Kąty skrętu:
   $${\ Displaystyle \ theta _ {1} (p) = 2 \ arg \ lewo (e ^ {-i \ alfa} + p ^ {-1} {e ^ {-i \ omega}} \ prawo), \ quad \theta _{2}(p)=2\arg \left(e^{i\beta }+p\,e^{i\omega }\right).}$$
3. Miejscem punktów $okrąg$ jest
   $${\ Displaystyle X_ {J} (p) = {\ Frac {c (p ^ {2} -1)} {p ^ {2} + 2 p \ cos \ gamma + 1}}, \ quad Y_ {J}(p)={\frac {2cp\sin \gamma }{p^{2}+2p\cos \gamma +1}},\quad {\text{gdzie}}\quad \gamma ={\ frac {\alpha -\beta}{2}}}$$
   (pokazane linią przerywaną na ryc. 3, ryc. 5). Ten okrąg (linia prosta, jeśli $. 4$ ) przechodzi przez punkty, przy czym styczna w punkcie jest ${\ Displaystyle \ mathbf {n} (\ gamma).}$$, B,$$displaystyle$ Biarcs przecinają ten okrąg pod stałym kątem ${\ Displaystyle - \ omega.}$
4. $_{J}}\right)}$ { $}$ Displaystyle $\ lewo (\ tau _ {$ , gdzie
   $${\ Displaystyle \ tau _ {\ scriptscriptstyle J} (p) = {- 2} \ arctan {\ dfrac {p \ sin {\ Frac {\ alfa} {2}} + \ sin {\ frac {\ beta}} 2}}} {p \ cos {\ frac {\ alfa} {2}} + \ cos {\ frac {\ beta} {2}}}}.}$$
5. Biarcs z mają punkt połączenia na osi Y ${\ Displaystyle (X_ {J} = 0)}$$i$ dają minimalny skok krzywizny = ${\ Displaystyle \ min \ lewo | k_ {2} (p) -k_ {1} (p) \ prawo |,}$ w ${\ Displaystyle J.}$
6. Biarcy zdegenerowani to:
   • Biarc ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (0)}$ : jak ${\ Displaystyle p \ do 0}$ , ${\ Displaystyle J (p) \ do A}$ , łuk $_$ .
   • Biarc ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (\ infty)}$ : as ${\ Displaystyle p \ do \ pm \ infty}$ , ${\ Displaystyle J (p ) \ do B$$znika$ , .
   • $∞ jot$ dwuarc obejmuje linię prostą ${\ infty}$${ \displaystyle JP_ {\ infty} B,}$ lub i przechodzi przez nieskończony punkt ${\ Displaystyle P _ {\ infty}}$ :
     $${\ Displaystyle p ^ {\ ast} = {\ rozpocząć {przypadki} - {\ dfrac {\ sin \ omega} {\ sin \ alfa}}, & {\ tekst {if}} \; | \ alfa | \ geqslant |\beta |\quad (|\alpha |=\pi \;\Longrightarrow \;p^{\ast }=-\infty ),\\[1ex]-{\dfrac {\sin \beta }{\sin \omega }},&{\text{if}}\;|\alpha |\leqslant |\beta |\quad (|\beta |=\pi \;\Longrightarrow \;p^{\ast }=0) .\end{przypadki}}}$$
   Zaciemniony obszar przypominający soczewkę na ryc. 3, 4 jest ograniczony dwułukami ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (0), \, {\ mathcal {B}} (\ infty).} Obejmuje$ biarc z ${\ displaystyle p> 0.}$ Nieciągły dwuarc jest pokazany przez czerwona przerywana linia przerywana.
7. Całą rodzinę można podzielić na trzy podrodziny niezdegenerowanych biarków: ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (p; \ \ alfa, \ beta, c)}$
   $${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {l} {\ mathcal {B}} ^ {\, +} (p) {:} \ quad p \ in (0; \ infty); \\ {\ mathcal {B }}_{1}^{\,-}(p){:}\quad p\in (p^{\ast };0);\\{\mathcal {B}}_{2}^{\ ,-}(p){:}\quad p\in (-\infty ;p^{\ast });\\\left[{\mathcal {B}}^{\,-}(p)={ \mathcal {B}}_{1}^{\,-}(p)\cup {\mathcal {B}}_{2}^{\,-}(p)\right].\end{array} }}$$
      Podrodzina ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} _ {1} ^ {\, -}}$ znika, jeśli ${\ Displaystyle p ^ {\ ast} = 0}$${\ Displaystyle (|\ beta |= \ pi).}$ Podrodzina ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} _ {2} ^ {\, -}}$ znika, jeśli ${\ Displaystyle p ^ {\ ast } = - \ infty }$${\ Displaystyle (|\ alfa |= \ pi).}$ Na rysunkach 3, 4, 5 biarcs ${\ Displaystyle \ color {sienna} {\ mathcal {B}} ^ {\, +}}$ są pokazane na brązowo , biarcs ${\ Displaystyle \ color {niebieski} {\ mathcal {B}} _ {1} ^ {\, -}}$ na niebiesko i biarcs ${\ Displaystyle \ color {zielony} {\ mathcal {B}}_{2}^{\,-}}$ na zielono.

•   Nutbourne, AW; Martin, RR (1988). Geometria różniczkowa zastosowana do projektowania krzywych i powierzchni. Tom 1: Podstawy . Ellisa Horwooda. ISBN 978-0132118224 .

Linki zewnętrzne

• Interpolacja Biarca