Bliskość (matematyka)

Bliskość jest podstawowym pojęciem topologii i dziedzin pokrewnych w matematyce . Intuicyjnie mówimy, że dwa zbiory są blisko siebie, jeśli są dowolnie blisko siebie. Pojęcie można zdefiniować naturalnie w przestrzeni metrycznej , w której zdefiniowane jest pojęcie odległości między elementami przestrzeni, ale można je uogólnić na przestrzenie topologiczne , w których nie mamy konkretnego sposobu mierzenia odległości.

Operator domknięcia zamyka dany zbiór, odwzorowując go na zbiór domknięty , który zawiera zbiór pierwotny i wszystkie znajdujące się w jego pobliżu punkty. Pojęcie bliskości jest związane z punktem granicznym .

Definicja

Biorąc pod uwagę przestrzeń metryczną , $punkt$ nazywa $,$ blisko lub blisko { $}$

{\ Displaystyle d (p, A) = 0}

,

gdzie odległość między punktem a zbiorem jest zdefiniowana jako

{\ Displaystyle d (p, A): = \ inf _ {a \ in A} d (p, a)}

gdzie inf oznacza infimum . $_$ zbiór $nazywany$ blisko zbioru jeśli _

{\ Displaystyle d (B, A) = 0}

Gdzie

{\ Displaystyle d (B, A): = \ inf _ {b \ w B} d (b, A)}

.

Nieruchomości

$displaystyle A}$ punkt jest blisko zbioru $blisko$ zbioru , $to i$ są ( $odwrotność$ jest p $}$ PRAWDA!).
bliskość między punktem a zbiorem jest zachowywana przez funkcje ciągłe
bliskość między dwoma zbiorami jest zachowana przez funkcje jednostajnie ciągłe

Relacja bliskości między punktem a zbiorem

Niech będzie jakiś $zbiór$ Relacja między punktami a podzbiorami jest relacją bliskości $,$ jeśli spełnia następujące warunki: $\ displaystyle V}$

Niech ${\ displaystyle A}$ i $displaystyle B}$ $\$ będą dwoma podzbiorami z i $}$ w $displaystyle V$ .

Jeśli ${\ displaystyle p \ w A}$ to ${\ displaystyle p}$ jest blisko ${\ displaystyle A}$ .
jeśli jest blisko ${\ Displaystyle$ $A}$ , to $emptyset}$
jeśli ${\ displaystyle p}$ jest blisko i $B \ supset A}$ $displaystyle$ to ${\ displaystyle p}$ jest blisko ${\ displaystyle b$
p { \ $displaystyle p}$ jest blisko ${\ Displaystyle A \ kubek B}$ , to jest blisko $p$ ${\ displaystyle A}$ $}$ jest blisko $styl wyświetlania B}$ ${ \ displaystyle p$
jeśli jest blisko i dla każdego punktu $a \ in A}$ $\$ $displaystyle$ a $a}$ ${\ displaystyle p}$ jest blisko $B$ } jest blisko ${\ displaystyle B}$ .

Przestrzenie topologiczne mają wbudowaną relację bliskości: definiowanie punktu, który ma być blisko podzbioru $\$ i tylko wtedy, gdy $displaystyle p}$ znajduje się w domknięciu $A}$ $}$ $\ displaystyle p$ spełnia powyższe warunki. Podobnie, biorąc pod uwagę zbiór z relacją bliskości, definiując punkt, który ma znajdować się w domknięciu podzbioru $jest$ i tylko wtedy, gdy ${\ displaystyle p}$ $blisko$ ZA $displaystyle p } A}$ spełnia aksjomaty domknięcia Kuratowskiego . Zatem zdefiniowanie relacji bliskości na zbiorze jest dokładnie równoważne zdefiniowaniu topologii na tym zbiorze.

Relacja bliskości między dwoma zbiorami

Niech ${\ displaystyle A}$ , ${\ displaystyle B}$ $i$ będą .

jeśli $\$ są blisko, to $Displaystyle A \ neq \ pusty zestaw}$ $B$ ≠ $Displaystyle B \ neq \ pusty zestaw$ }
jeśli i są blisko, to i są blisko ${\ displaystyle A}$ $i$ ZA $}$ $displaystyle$
jeśli $\$ są blisko i są blisko $C},$ $\ Displaystyle B$ to ${\ Displaystyle A}$ i do { $}$
jeśli $są$ są blisko, to albo i B $Displaystyle B}$ $A$ $, albo ZA {$ Displaystyle $i$ $C}$ do { \ $Displaystyle$ są bliskie
jeśli ${\ Displaystyle A \ cap B \ neq \ emptyset}$ to ${\ Displaystyle A}$ i ${\ displaystyle B}$ są blisko

Uogólniona definicja

Relację bliskości między zbiorem a punktem można uogólnić na dowolną przestrzeń topologiczną. Biorąc pod uwagę przestrzeń topologiczną i punkt , $\$ $displaystyle p}$ nazywa się blisko zbioru ${\ displaystyle A}$ , jeśli ${\ Displaystyle p \ w$ .

Aby zdefiniować relację bliskości między dwoma zbiorami, struktura topologiczna jest zbyt słaba i musimy użyć struktury jednorodnej . Mając jednorodną przestrzeń , zbiory A i B nazywamy blisko siebie, jeśli przecinają wszystkie otoczenie , to znaczy dla dowolnego otoczenia U , ( A × B )∩ U jest niepuste.

Zobacz też