Centralna konfiguracja
W mechanice nieba i matematyce problemu n- ciał konfiguracja centralna jest układem mas punktowych , którego właściwość polega na tym, że każda masa jest przyciągana przez połączoną siłę grawitacji układu bezpośrednio do środka masy , z przyspieszeniem proporcjonalnym do jej odległość od centrum. Konfiguracje centralne można badać w przestrzeniach euklidesowych dowolnego wymiaru, chociaż tylko wymiary jeden, dwa i trzy są bezpośrednio istotne dla mechaniki nieba.
Przykłady
Dla n równych mas jedna z możliwych konfiguracji centralnych umieszcza masy w wierzchołkach wielokąta foremnego (tworzącego rozetę Klemperera ), bryły platońskiej lub regularnego wielokąta w wyższych wymiarach. Centralność konfiguracji wynika z jej symetrii. Możliwe jest również umieszczenie dodatkowego punktu o dowolnej masie w środku masy układu bez zmiany jego centralności.
Umieszczenie trzech mas w trójkącie równobocznym, czterech w wierzchołkach czworościanu foremnego lub bardziej ogólnie n mas w wierzchołkach foremnego simpleksu daje konfigurację centralną, nawet jeśli masy nie są równe. Jest to jedyna konfiguracja centralna dla tych mas, która nie leży w podprzestrzeni o niższych wymiarach.
Dynamika
Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia Newtona ciała znajdujące się w stanie spoczynku w konfiguracji centralnej zachowają tę konfigurację, gdy zapadną się i zderzą w środku masy. Układy ciał w dwuwymiarowej konfiguracji centralnej mogą stabilnie krążyć wokół swojego środka masy, zachowując swoje względne położenia, po orbitach kołowych wokół środka masy lub po orbitach eliptycznych ze środkiem masy w ognisku elipsy. Są to jedyne możliwe stabilne orbity w przestrzeni trójwymiarowej, na których układ cząstek zawsze pozostaje podobny do swojej początkowej konfiguracji.
Mówiąc bardziej ogólnie, każdy układ cząstek poruszających się pod działaniem grawitacji newtonowskiej, które wszystkie zderzają się w jednym punkcie w czasie i przestrzeni, będzie zbliżał się do konfiguracji centralnej, w granicach, w których czas dąży do czasu zderzenia. Podobnie, układ cząstek, które ostatecznie wszystkie uciekają od siebie z dokładnie taką samą prędkością ucieczki, będzie zbliżał się do centralnej konfiguracji w granicy, gdy czas dąży do nieskończoności. A każdy układ cząstek, który porusza się pod wpływem grawitacji Newtona, tak jakby był ciałem sztywnym, musi się poruszać w konfiguracji centralnej. Wiry w dwuwymiarowej dynamice płynów , takie jak duże systemy burzowe na oceanach Ziemi, również mają tendencję do układania się w centralne konfiguracje.
Wyliczenie
Dwie centralne konfiguracje są uważane za równoważne, jeśli są podobne , to znaczy, że można je przekształcić w siebie przez pewną kombinację obrotu, translacji i skalowania. Przy tej definicji równoważności istnieje tylko jedna konfiguracja jednego lub dwóch punktów i zawsze jest ona centralna.
W przypadku trzech ciał istnieją trzy jednowymiarowe konfiguracje centralne, znalezione przez Leonharda Eulera . Skończoność zbioru trójpunktowych konfiguracji centralnych wykazał Joseph-Louis Lagrange w swoim rozwiązaniu problemu trzech ciał ; Lagrange wykazał, że istnieje tylko jedna niewspółliniowa konfiguracja centralna, w której trzy punkty tworzą wierzchołki trójkąta równobocznego .
Cztery punkty w dowolnym wymiarze mają tylko skończenie wiele konfiguracji centralnych. Liczba konfiguracji wynosi w tym przypadku co najmniej 32 i co najwyżej 8472, w zależności od mas punktów. Jedyną wypukłą centralną konfiguracją czterech równych mas jest kwadrat. Jedyną centralną konfiguracją czterech brył obejmującą trzy wymiary jest konfiguracja utworzona przez wierzchołki czworościanu foremnego .
Dla dowolnie wielu punktów w jednym wymiarze znowu istnieje tylko skończenie wiele rozwiązań, po jednym dla każdego z n !/2 rzędów liniowych (aż do odwrócenia kolejności) punktów na prostej.
Czy istnieje ograniczona liczba konfiguracji centralnych dla każdego skończonego zbioru mas punktowych w każdym wymiarze?
Dla każdego zbioru n mas punktowych i każdego wymiaru mniejszego od n istnieje co najmniej jedna centralna konfiguracja tego wymiaru. Dla prawie wszystkich n -krotek mas istnieje skończenie wiele konfiguracji „Dziobka”, które obejmują dokładnie n − 2 wymiary. Nierozwiązanym problemem, postawionym przez Chazy'ego (1918) i Wintnera (1941) , jest to, czy zawsze istnieje ograniczona liczba konfiguracji centralnych dla pięciu lub więcej mas w dwóch lub więcej wymiarach. W 1998 roku Stephen Smale umieścił ten problem jako szósty na swojej liście „problemów matematycznych następnego stulecia”. Jako częściowy postęp, dla prawie wszystkich 5-krotek mas istnieje tylko ograniczona liczba dwuwymiarowych konfiguracji centralnych pięciu punktów.
Specjalne klasy konfiguracji
Ułożone w stos
Mówi się, że konfiguracja centralna jest ułożona w stos , jeśli podzbiór trzech lub więcej jej mas również tworzy konfigurację centralną. Na przykład może to być prawdą dla równych mas tworzących kwadratową piramidę , z czterema masami u podstawy piramidy również tworzącymi centralną konfigurację, lub dla mas tworzących trójkątną bipiramidę , z trzema masami w środkowym trójkącie bipiramidy tworząc również konfigurację centralną.
Pajęcza sieć
Centralna konfiguracja pajęczyny to konfiguracja, w której masy leżą w punktach przecięcia zbioru koncentrycznych okręgów z innym zbiorem linii, spotykających się w środku okręgów pod równymi kątami. Punkty przecięcia prostych z pojedynczym okręgiem powinny być zajęte przez punkty o jednakowej masie, ale masy mogą się różnić w zależności od okręgu. Dodatkowa masa (która może wynosić zero) jest umieszczana w środku układu. Dla dowolnej pożądanej liczby linii, liczby okręgów i profilu mas na każdym koncentrycznym okręgu centralnej konfiguracji pajęczyny można znaleźć centralną konfigurację pajęczyny pasującą do tych parametrów. W podobny sposób można uzyskać konfiguracje centralne dla rodzin zagnieżdżonych brył platońskich , lub bardziej ogólnie orbity teorii grup dowolnej skończonej podgrupy grupy ortogonalnej .
James Clerk Maxwell zasugerował, że do zrozumienia ruchu pierścieni Saturna można wykorzystać specjalny przypadek tych konfiguracji z jednym kołem, masywnym ciałem centralnym i znacznie lżejszymi ciałami w równomiernie rozmieszczonych punktach koła. Saari (2015) wykorzystał stabilne orbity wygenerowane z centralnych konfiguracji pajęczej sieci o znanym rozkładzie masy, aby przetestować dokładność klasycznych metod szacowania rozkładu masy galaktyk. Jego wyniki pokazały, że metody te mogą być dość niedokładne, potencjalnie pokazując, że do przewidywania ruchu galaktyk potrzeba mniej ciemnej materii , niż przewidują standardowe teorie.