Charakter orientacyjny

W topologii algebraicznej , gałęzi matematyki , znak orientacji w grupie jest homomorfizmem grupy ${\ displaystyle \ pi}$

${\ Displaystyle \ omega \ dwukropek \ pi \ do \ lewo \ {\ pm 1 \ prawo \}}$ . Pojęcie to ma szczególne znaczenie w teorii chirurgii .

Motywacja

Biorąc pod uwagę rozmaitość M $\ Displaystyle \$ bierze się ( grupę podstawową ), a następnie wysyła element $=$$pi}$$= \$ do ${\ displaystyle -1}$ wtedy i tylko wtedy, gdy klasa, którą reprezentuje, odwraca orientację.

Ta mapa jest trywialna $gdy$ i tylko wtedy, M jest orientowalna .

Charakter orientacji to struktura algebraiczna na podstawowej grupie rozmaitości, która wychwytuje, które pętle odwracają orientację, a które zachowują orientację.

Skręcona algebra grup

Znak orientacji definiuje skręconą inwolucję ( $mapsto \ omega (g) g ^ {- 1}}$ * -pierścieniowa ) na $pierścieniu$ grupowym , przez $Displaystyle g$ (tj. ${\ Displaystyle \ pm g ^ {-1}}$ , odpowiednio, ponieważ ${\ displaystyle g}$ to zachowanie lub odwrócenie orientacji). Jest to oznaczone ${\ Displaystyle \ mathbf {Z} [\ pi] ^ {\ omega}}$ .

Przykłady

• W rzeczywistych przestrzeniach rzutowych znak orientacji trywialnie ocenia pętle, jeśli wymiar jest nieparzysty, i przypisuje -1 nierozciągliwym pętlom w wymiarze parzystym.

Nieruchomości

Charakter orientacji jest albo trywialny, albo ma jądro podgrupy indeksu 2, która całkowicie określa mapę.

Zobacz też

• Klasa charakterystyczna Whitneya
• System lokalny
• Pokręcony dualizm Poincarégo

Linki zewnętrzne

• Charakter orientacji w Atlasie Rozmaitości