Ciekawy paradoks liczb

interesującej liczby to humorystyczny paradoks , który wynika z próby sklasyfikowania każdej liczby naturalnej jako „interesującej” lub „nieinteresującej”. Paradoks polega na tym, że każda liczba naturalna jest interesująca. „ Dowód ” polega na sprzeczności : jeśli istnieje niepusty zbiór nieinteresujących liczb naturalnych, istniałaby najmniejsza nieinteresująca liczba – ale najmniejsza nieinteresująca liczba sama w sobie jest interesująca, ponieważ jest najmniejszą nieinteresującą liczbą, tworząc w ten sposób sprzeczność .

teoretyków liczb istnieje wrodzone pojęcie „interesowności” . W dyskusji między matematykami GH Hardym i Srinivasą Ramanujanem na temat interesujących i nieciekawych liczb Hardy zauważył, że numer 1729 taksówki, którą jechał, wydawał się „raczej nudny”, a Ramanujan natychmiast odpowiedział, że jest interesujący, ponieważ najmniejsza liczba będąca sumą dwóch sześcianów na dwa różne sposoby .

Charakter paradoksalny

Próba sklasyfikowania wszystkich liczb w ten sposób prowadzi do paradoksu lub antynomii definicji. Jakikolwiek hipotetyczny podział liczb naturalnych na zbiory interesujące i nieinteresujące wydaje się chybiony. Ponieważ definicja interesującego jest zwykle pojęciem subiektywnym, intuicyjnym, należy ją rozumieć jako na wpół humorystyczne zastosowanie samoodniesienia w celu uzyskania paradoksu.

Paradoks zostaje złagodzony, jeśli zamiast tego „interesujące” zostanie zdefiniowane obiektywnie: na przykład najmniejsza liczba naturalna, która nie pojawia się we wpisie w On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS), została pierwotnie uznana za 11630 w dniu 12 czerwca 2009 r. Numer pasujący do tej definicji stał się później 12407 od listopada 2009 do co najmniej listopada 2011, a następnie 13794 od kwietnia 2012, aż pojawił się w sekwencji OEIS : A218631 od 3 listopada 2012 r. Od listopada 2013 r. liczba ta wynosiła 14228, przynajmniej do 14 kwietnia 2014 r. W maju 2021 r. liczba ta wynosiła 20067. (Ta definicja nieinteresującego jest możliwa tylko dlatego, że OEIS wymienia tylko skończoną liczbę terminów dla każdy wpis. Na przykład OEIS : A000027 to ciąg wszystkich liczb naturalnych , a gdyby był kontynuowany w nieskończoność, zawierałby wszystkie dodatnie liczby całkowite. W tej chwili sekwencja jest zapisana w jej wpisie tylko do 77.) W zależności od źródeł użytych do spisu interesujących liczb, wiele innych liczb można scharakteryzować jako nieinteresujące w ten sam sposób. Na przykład matematyk i filozof Alex Bellos zasugerował w 2014 r., że kandydatem na najniższą nieciekawą liczbę byłoby 224 , ponieważ w tamtym czasie była to „najniższa liczba, która nie ma własnej strony w Wikipedii ”.

Ponieważ jednak istnieje wiele znaczących wyników w matematyce, które wykorzystują samoodniesienie (takie jak twierdzenia Gödla o niezupełności ), paradoks ilustruje pewną siłę samoodniesienia, a tym samym dotyka poważnych problemów w wielu dziedzinach nauki. Paradoks można powiązać bezpośrednio z twierdzeniami Gödla o niezupełności, jeśli zdefiniujemy „interesującą” liczbę jako taką, którą może obliczyć program zawierający mniej bitów niż sama liczba. Podobnie, zamiast próbować ilościowo określić subiektywne poczucie zainteresowania, można rozważyć długość frazy potrzebnej do określenia liczby. Na przykład wyrażenie „najmniejsza liczba, której nie można wyrazić w mniej niż jedenastu słowach” brzmi tak, jakby miało identyfikować niepowtarzalną liczbę, ale samo wyrażenie zawiera tylko dziesięć słów, więc liczba identyfikowana przez to wyrażenie byłaby wyrażona w mniej niż w końcu jedenaście słów. Jest to znane jako Paradoks jagodowy .

Historia

W 1945 roku Edwin F. Beckenbach opublikował krótki list w The American Mathematical Monthly, sugerując, że

Można by przypuszczać, że istnieje interesujący fakt dotyczący każdej z dodatnich liczb całkowitych. Oto „dowód indukcyjny”, że tak jest. Z pewnością 1, które jest współczynnikiem każdej dodatniej liczby całkowitej, kwalifikuje, podobnie jak 2, najmniejszą liczbę pierwszą; 3, najmniejsza nieparzysta liczba pierwsza; 4, numer Bieberbacha; itp . Załóżmy, że zbiór S liczb całkowitych dodatnich, z których każda nie zawiera żadnego interesującego faktu, nie jest pusty i niech k będzie najmniejszym elementem S . Ale jest to najbardziej interesujący fakt dotyczący k ! stąd s nie ma najmniejszego członka, a zatem jest próżnią. Czy dowód jest ważny?

Constance Reid umieściła ten paradoks w pierwszym wydaniu swojej popularnej książki matematycznej From Zero to Infinity z 1955 roku , ale usunęła go z późniejszych wydań. Martin Gardner przedstawił paradoks jako „błąd” w swojej kolumnie w Scientific American w 1958 roku, włączając go z sześcioma innymi „zdumiewającymi twierdzeniami”, których rzekome dowody były również nieco błędne. List z 1980 roku do The Mathematics Teacher wspomina o żartobliwym dowodzie, że „wszystkie liczby naturalne są interesujące”, omówionym trzy dekady wcześniej. w 1977 r. Greg Chaitin odniósł się do stwierdzenia Gardnera na temat paradoksu i wskazał jego związek z wcześniejszym paradoksem Bertranda Russella dotyczącym istnienia najmniejszej niedefiniowalnej liczby porządkowej (pomimo faktu, że wszystkie zbiory liczb porządkowych mają najmniejszy element i że „najmniejsza niedefiniowalna liczba porządkowa” wydaje się być definicją).

W The Penguin Dictionary of Curious and Ciekawe Numbers (1987) David Wells skomentował, że 39 „wydaje się być pierwszą nieciekawą liczbą”, co czyni ją „szczególnie interesującą”, a zatem 39 musi być jednocześnie interesująca i nudna.

Zobacz też

Notatki

Dalsza lektura

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Interesting_number_paradox&oldid=1140881896 ”