Definiowalność Beth

W logice matematycznej definiowalność Beth jest wynikiem, który łączy niejawną definiowalność właściwości z jej jawną definiowalnością. Konkretnie definiowalność Beth stwierdza, że ​​dwa znaczenia definiowalności są równoważne.

Logika pierwszego rzędu ma właściwość definiowalności Beth.

Oświadczenie

W przypadku logiki pierwszego rzędu twierdzenie stwierdza, że ​​mając teorię T w języku L' ⊇ L i wzór φ w L' , to następujące są równoważne:

• dla dowolnych dwóch modeli A i B z T takich, że A | L = B | L (gdzie A | L jest redukcją A do L ), jest tak, że A ⊨ φ [ a ] ​​wtedy i tylko wtedy, gdy B ⊨ φ [ a ] ​​(dla wszystkich krotek a z A )
• φ jest równoważne modulo T ze wzorem ψ w L .

Mniej formalnie: właściwość jest implicite definiowalna w teorii w języku L (poprzez formułę φ języka rozszerzonego L' ) tylko wtedy, gdy ta właściwość jest jawnie definiowalna w tej teorii (przez formułę ψ w języku oryginalnym L ).

Najwyraźniej zachodzi również odwrotność, więc mamy równoważność między niejawną i jawną definiowalnością. Oznacza to, że „właściwość” jest jawnie definiowalna w odniesieniu do teorii wtedy i tylko wtedy, gdy jest definiowalna implicite.

Twierdzenie nie jest spełnione, jeśli warunek jest ograniczony do modeli skończonych. Możemy mieć A ⊨ φ [ a ] ​​wtedy i tylko wtedy, gdy B ⊨ φ [ a ] ​​dla wszystkich par A , B skończonych modeli bez żadnego wzoru L ψ równoważnego φ modulo T .

Wynik został po raz pierwszy udowodniony przez Everta Willema Beth .

Źródła

• Wilfrid Hodges Teoria krótszego modelu . Cambridge University Press, 1997.