Redukcja

Ten artykuł dotyczy relacji na strukturach algebraicznych. Informacje na temat redukcji w przepisywania abstrakcyjnym można znaleźć w artykule Zbieżność (przepisywanie abstrakcyjne) .

W algebrze uniwersalnej i teorii modeli redukcję struktury algebraicznej uzyskuje się poprzez pominięcie niektórych operacji i relacji tej struktury . Przeciwieństwem „redukcji” jest „ekspansja”.

Definicja

Niech A będzie strukturą algebraiczną (w sensie algebry uniwersalnej ) lub strukturą w sensie teorii modeli zorganizowaną jako zbiór X wraz z indeksowaną rodziną operacji i relacji φ _i na tym zbiorze ze zbiorem indeksowym I . Wtedy redukt A zdefiniowany przez podzbiór J z I jest strukturą składającą się ze zbioru X i J -indeksowana rodzina operacji i relacji, których j -ta operacja lub relacja dla j ∈ J jest j -tą operacją lub relacją A . Oznacza to, że ten redukt jest strukturą A z pominięciem tych operacji i relacji φ _i , dla których i nie ma w J .

Struktura A jest rozwinięciem B , gdy B jest redukcją A. Oznacza to, że redukcja i ekspansja są wzajemnymi odwrotnościami.

Przykłady

Monoid ( Z , +, 0) liczb całkowitych podlegających dodawaniu jest reduktem grupy ( Z , +, −, 0) liczb całkowitych podlegających dodawaniu i negacji , otrzymanym przez pominięcie negacji. Natomiast monoid ( N , +, 0) dodawanych liczb naturalnych nie jest redukcją żadnej grupy.

I odwrotnie, grupa ( Z , +, -, 0) jest rozwinięciem monoidu ( Z , +, 0), rozszerzając go za pomocą operacji negacji.

•   Burris, Stanley N.; HP Sankappanavar (1981). Kurs algebry uniwersalnej . Springera . ISBN 3-540-90578-2 .
•   Hodges, Wilfrid (1993). Teoria modelu . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . ISBN 0-521-30442-3 .