Degeneracja (geometria algebraiczna)

W geometrii algebraicznej degeneracja (lub specjalizacja ) jest aktem przyjęcia granicy rodziny rozmaitości. Dokładnie, biorąc pod uwagę morfizm

{\ Displaystyle \ pi: {\ mathcal {X}} \ do C,}

odmiany (lub schematu) do krzywej C o początku 0 (np. linia afiniczna lub rzutowa), włókna

{\ Displaystyle \ pi ^ {- 1} (t)}

tworzą rodzinę odmian nad C . $1} (t)$ włókno ) ${$ jak ${\ displaystyle t \ do 0}$ . Następnie mówi się, że rodzina ${\ Displaystyle \ pi ^ {- 1} (t), t \ neq 0}$ degeneruje się do specjalnego włókna ${\ Displaystyle \ pi ^ { -1}(0)}$ . Proces ograniczający zachowuje się ładnie, gdy jest $morfizmem$ iw takim przypadku degeneracja nazywana jest degeneracją płaską . Wielu autorów zakłada, że degeneracje są płaskie.

Kiedy rodzina jest trywialna z dala od specjalnego włókna; ${\ Displaystyle \ pi ^ {-1} (t)}$ $do$ . jest ${\ Displaystyle \ pi ^ {- 1} (t), t \ neq 0}$ od $Displaystyle t \ neq 0}$ (spójnych) izomorfizmów nazywa się włóknem ogólnym.

Degeneracje krzywych

W badaniu modułów krzywych ważnym punktem jest zrozumienie granic modułów, co jest równoznaczne ze zrozumieniem degeneracji krzywych.

Stabilność niezmienników

Rządzona-ness specjalizuje się. Dokładnie, mówi twierdzenie Matsusaka'a

Niech X będzie normalnym nieredukowalnym schematem projekcyjnym na dyskretnym pierścieniu wartościowania. Jeśli włókno ogólne jest rządzone, to każdy nieredukowalny składnik włókna specjalnego jest również rządzony.

Deformacje nieskończenie małe

Niech D = k [ ε ] będzie pierścieniem liczb podwójnych nad ciałem k , a Y schematem typu skończonego nad k . Biorąc pod uwagę zamknięty podschemat X z Y , z definicji osadzone nieskończenie małe odkształcenie pierwszego rzędu X jest zamkniętym podschematem X ' z Y × _{Spec( k )} Spec( D ) takim , że rzut X ' → Spec D jest płaski i ma X jako włókno specjalne.

Jeśli Y = Spec A i X = Spec( A / I ) są afiniczne, to osadzone nieskończenie małe odkształcenie jest równoznaczne z ideałem I ' z A [ ε ] takim, że A [ ε ]/ I ' jest płaskie nad D i obraz ja ' w ZA = ZA [ ε ]/ ε to ja .

Ogólnie rzecz biorąc, mając schemat punktowy ( S , 0) i schemat X , morfizm schematów $π$ : X ' → S nazywamy deformacją schematu X , jeśli jest on płaski, a jego włókno nad wyróżnionym punktem 0 S jest X. _ Zatem powyższe pojęcie jest szczególnym przypadkiem, gdy S = Spec D i istnieje pewien wybór osadzania.

Zobacz też

M. Artin, Wykłady o deformacjach osobliwości – Instytut Badań Podstawowych Tata, 1976
Hartshorne, Robin (1977), Geometria algebraiczna , Absolwent Teksty z matematyki , tom. 52, Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157
E. Sernesi: Deformacje schematów algebraicznych
M. Gross, M. Siebert, Zaproszenie do degeneracji torycznych
M. Kontsevich, Y. Soibelman: Struktury afiniczne i przestrzenie analityczne niearchimedesowe, w: Jedność matematyki (P. Etingof, V. Retakh, IM Singer, red.), 321–385, Progr. Matematyka 244, Birkh auser 2006.
Karen E. Smith, Znikanie, osobliwości i efektywne granice za pośrednictwem pierwszej charakterystycznej algebry lokalnej.
W. Aleksiejew, Ch. Birkenhake i K. Hulek, Degeneracje odmian Prym, J. Reine Angew. Matematyka 553 (2002), 73–116.

Linki zewnętrzne

http://mathoverflow.net/questions/88552/when-do-infinitesimal-deformations-lift-to-global-deformations