Dekompozycja Tuckera

W matematyce dekompozycja Tuckera rozkłada tensor na zestaw macierzy i jeden mały tensor rdzenia. Jej nazwa pochodzi od Ledyarda R. Tuckera , chociaż sięga czasów Hitchcocka w 1927 r. Początkowo opisana jako trzymodowe rozszerzenie analizy czynnikowej i analizy głównych składowych , może w rzeczywistości zostać uogólniona do analizy wyższych modów, która jest również nazywana liczbą pojedynczą wyższego rzędu dekompozycja wartości (HOSVD).

Można go uznać za bardziej elastyczny model PARAFAC (równoległa analiza czynnikowa). W PARAFAC tensor rdzenia jest ograniczony do „przekątnej”.

W praktyce dekompozycja Tuckera jest używana jako narzędzie do modelowania. Na przykład jest używany do modelowania danych trójdrożnych (lub wyższych) za pomocą stosunkowo niewielkiej liczby komponentów dla każdego z trzech lub więcej trybów, a komponenty są połączone ze sobą przez trzy (lub wyższe) ) sposób tablicy rdzenia. Parametry modelu są estymowane w taki sposób, aby przy ustalonej liczbie składowych modelowane dane optymalnie przypominały dane rzeczywiste w sensie najmniejszych kwadratów. Model zawiera podsumowanie informacji zawartych w danych w taki sam sposób, jak analiza głównych składowych w przypadku danych dwukierunkowych.

Dla tensora trzeciego rzędu $\ Displaystyle T \ w fa ^ {n_ {1} \ razy n_ {2} \ razy n_ {3}}}$ gdzie ${\ displaystyle F}$ jest albo albo $\ displaystyle \ mathbb {R}}$ Rozkład Tuckera można oznaczyć w następujący sposób: ${$

{\ Displaystyle T = {\ mathcal {T}} \ razy _ {1} U ^ {(1)} \ razy _ { 2}U^{(2)}\razy _{3}U^{(3)}}

gdzie jest tensorem rdzenia

{\ Displaystyle {\ mathcal {T}} \ w F ^ {d_ {1} \ razy d_ {2} \ razy d_ {3}}

} tensor trzeciego rzędu, który zawiera wartości osobliwe trybu 1, trybu 2 i trybu 3 ,

wycinków

są zdefiniowane jako norma Frobeniusa trybu 1, trybu 2 i trybu 3

odpowiednio

tensora .

{\ Displaystyle U ^ {(1)}, U ^ {(2)}, U ^ {(3)}}

są macierzami unitarnymi w

{\ Displaystyle F ^ {d_ {1} \ razy n_ {1}}, F ^ {d_ {2} \ razy n_ {2}}, F ^ {d_ {3} \times n_{3}}}

odpowiednio. Iloczyn trybu j ( j = 1, 2, 3)

{\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}

przez

{\ Displaystyle U ^ {(j)}}

jest oznaczony jako

{\ Displaystyle {\ mathcal {T}} \ razy U ^ {(j)}}

z wpisami jako

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} ({\ mathcal {T}} \ razy _ {1} U ^ {(1)}) (n_ {1} ,d_{2},d_{3})&=\suma _{i_{1}=1}^{d_{1}}{\mathcal {T}}(i_{1},d_{2},d_ {3})U^{(1)}(i_{1},n_{1})\\({\mathcal {T}}\times _{2}U^{(2)})(d_{1 },n_{2},d_{3})&=\suma _{i_{2}=1}^{d_{2}}{\mathcal {T}}(d_{1},i_{2}, d_{3})U^{(2)}(i_{2},n_{2})\\({\mathcal {T}}\times_{3}U^{(3)})(d_{ 1},d_{2},n_{3})&=\suma _{i_{3}=1}^{d_{3}}{\mathcal {T}}(d_{1},d_{2} ,i_{3})U^{(3)}(i_{3},n_{3})\end{wyrównane}}}

Wzięcie $ale$ do dokładnego $T$ $,$ można $displaystyle T}$ { skompresowany lub wydajnie w przybliżeniu wybierając $\ displaystyle d_ {i}<n_ {i}}$ . Częstym wyborem jest ${\ Displaystyle d_ {1} = d_ {2} = d_ {3} = \ min (n_ {1}, n_ {2}, n_ {3})}$ , co może być skuteczne, gdy różnica w rozmiarach wymiarów jest duża.

Istnieją dwa szczególne przypadki rozkładu Tuckera:

Tucker1 : jeśli ${\ Displaystyle U ^ {(2)}}$ i ${\ Displaystyle U ^ {(3)}}$ są tożsamościami, to ${\ Displaystyle T={\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)}}$

Tucker2 : jeśli ${\ Displaystyle U ^ {(3)}}$ jest tożsamością, to ${\ Displaystyle T = {\ mathcal {T}} \ razy _{1}U^{(1)}\razy _{2}U^{(2)}}$ .

RESCAL można postrzegać jako szczególny przypadek Tuckera, gdzie $^ {(3)}} jest$ ${\ Displaystyle U ^ {(2)}}$ tożsamością i $\ Displaystyle U ^ {(1)}}$ .

Zobacz też