Dekompozycja wartości osobliwych wyższego rzędu

W algebrze wieloliniowej rozkład na wartości osobliwe wyższego rzędu ( HOSVD ) tensora jest specyficznym rozkładem ortogonalnym Tuckera . Można to uznać za jedno uogólnienie rozkładu macierzy na wartości osobliwe . Ma zastosowania w wizji komputerowej , grafice komputerowej , uczeniu maszynowym , obliczeniach naukowych i przetwarzaniu sygnałów . Niektóre aspekty można prześledzić już w FL Hitchcock w 1928 r., ale to LR Tucker opracował dla tensorów trzeciego rzędu ogólną dekompozycję Tuckera w latach 60. XX wieku, za którą dalej opowiadali się L. De Lathauwer i in. w ich pracy Multilinear SVD, która wykorzystuje metodę potęgową, i popierana przez Vasilescu i Terzopoulosa, którzy opracowali SVD w trybie M.

Termin HOSVD został wymyślony przez Lievena DeLathauwera, ale algorytm określany powszechnie w literaturze jako HOSVD i przypisywany Tuckerowi lub DeLathauwerowi został opracowany przez Vasilescu i Terzopoulosa. Zaproponowano również solidne i oparte na normie L1 warianty HOSVD.

Definicja

Na potrzeby tego artykułu zakłada się, że abstrakcyjny tensor $tablica$ podany we współrzędnych w odniesieniu do jakiejś bazy jako M-way , również oznaczona przez ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} \ w \ mathbb {C} ^ {I_ {1} \ razy I_ {2} \ cdots \ razy \ cdots I_ {m} \cdots \times I_{M}}}$ , gdzie M to liczba modów i rząd tensora. ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ to liczby zespolone i obejmuje zarówno liczby rzeczywiste, $i$ czyste liczby urojone.

Niech ${\ Displaystyle {\ bf {U}} _ {m} \ in \ mathbb {C} ^ {I_ {m} \ razy R_ {m}}} będzie$ jednostkową macierzą zawierającą podstawa lewych pojedynczych wektorów standardowego ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$ modemu taka , że ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} _ {[m]}}$ ZA j ta kolumna ${\ Displaystyle \ mathbf {u} _ {j}}$ U ${\ Displaystyle {\ bf {U}} _ {m}}$ odpowiada j-tej największej wartości pojedynczej $\ Displaystyle {\ mathcal {A}} _ {[m]}}$ . Zauważ $,$ że macierz / czynników nie zależy od konkretnej definicji modu . Dzięki właściwościom mnożenia wieloliniowego mamy

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {rcl} {\ mathcal {A}} & = & {\ mathcal {A}} \ razy ( {\bf {I}},{\bf {I}},\ldots ,{\bf {I}})\\&=&{\mathcal {A}}\times ({\bf {U}}_ {1}{\bf {U}}_{1}^{H},{\bf {U}}_{2}{\bf {U}}_{2}^{H},\ldots ,{ \bf {U}}_{M}{\bf {U}}_{M}^{H})\\&=&\left({\mathcal {A}}\times ({\bf {U} }_{1}^{H},{\bf {U}}_{2}^{H},\ldots ,{\bf {U}}_{M}^{H})\right)\times ({\bf {U}}_{1},{\bf {U}}_{2},\ldots,{\bf {U}}_{M}),\end{tablica}}}

gdzie

{\ displaystyle \ cdot ^ {H}}

oznacza sprzężoną transpozycję . Druga równość wynika z faktu, że macierze jednostkowe są

{\ displaystyle {\ bf {U}} _ {m}} .

Zdefiniuj teraz tensor rdzenia

{\ Displaystyle {\ mathcal {S}}: = {\ mathcal {A}} \ razy ({\ bf {U}} _ {1} ^ {H}, {\ bf {U}} _ {2} ^ {H},\ldots ,{\bf {U}}_{M}^{H}).}

Następnie HOSVD z jest rozkładem

{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}

{\ Displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {S}} \ razy ({\ bf {U}} _ {1}, {\ bf {U}} _ {2}, \ ldots, {\ bf {U}}_{M}).}

Powyższa konstrukcja pokazuje, że każdy tensor ma HOSVD.

Kompaktowy HOSVD

Podobnie jak w przypadku zwartej dekompozycji macierzy na wartości osobliwe, można również rozważyć zwarty HOSVD , co jest bardzo przydatne w zastosowaniach.

${\ Displaystyle {\ bf {U}} _ {m} \ in \ mathbb {C} ^ {I_ {m} \ razy R_ {m}}} jest$ do z jednolite kolumny zawierające podstawę lewych wektorów osobliwych odpowiadających niezerowym wartościom osobliwym współczynnika standardowego - m spłaszczania ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} _ {[m]}}$ ZA ${\ displaystyle$ . Niech kolumny ${\ displaystyle {\ bf {U}} _ {m}}$ być posortowane w taki sposób, że $}}$ kolumna $Displaystyle {\ bf {u}} _ {r_ {m}}}$ ${\$ { $Displaystyle {\ bf {U} } _ {$ $]$ odpowiada niezerowej wartości osobliwej ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} _ {[m]}$ . $tworzą podstawę$ kolumny obrazu ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} _ {[m]}}$ mamy

{\ Displaystyle {\ mathcal {A}} _ {[m]} = {\ bf {U}}_{m}{\bf {U}}_{m}^{H}{\mathcal {A}}_{[m]}={\bigl (}{\mathcal {A}} \times _{m}({\bf {U}}_{m}{\bf {U}}_{m}^{H}){\bigr )}_{[m]},}

gdzie pierwsza równość wynika z właściwości rzutów ortogonalnych (w hermitowskim iloczynie wewnętrznym), a ostatnia równość wynika z właściwości mnożenia wieloliniowego.

poprzednio

dla wszystkich znajdujemy To

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {rcl} {\ mathcal {A}} & = & {\ mathcal {A}} \ razy ({\ bf {U}} _ {1} {\ bf {U}} _{1}^{H},{\bf {U}}_{2}{\bf {U}}_{2}^{H},\ldots ,{\bf {U}}_{M} {\bf {U}}_{M}^{H})\\&=&\left({\mathcal {A}}\times ({\bf {U}}_{1}^{H}, {\bf {U}}_{2}^{H},\ldots,{\bf {U}}_{M}^{H})\right)\times ({\bf {U}}_{ 1},{\bf {U}}_{2},\ldots ,{\bf {U}}_{M})\\&=&{\mathcal {S}}\razy ({\bf {U }}_{1},{\bf {U}}_{2},\ldots ,{\bf {U}}_{M}),\end{tablica}}}

gdzie tensor rdzenia

R_

teraz rozmiar

{M}}

{\ Displaystyle R_ {1} \ razy R_ {2} \ razy \ cdots \ razy

.

Ranga wieloliniowa

Wieloliniowy stopień jest oznaczony rangą- $R_{M})}$ ${\ Displaystyle (R_ {1}, R_ {2}, \ ldots, ZA {\ Displaystyle {\ mathcal {A$ $}$ } . Ranga wieloliniowa jest krotką w gdzie ${\ Displaystyle \ mathbb {N} ^ {M}}$ ${\ Displaystyle R_ {m}: = \ operatorname {ranga} ({\ mathcal {A}} _ {[m]})$ } Nie wszystkie krotki w $są$ . Rangi wieloliniowe są ograniczone przez ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik R_ {m} \ równoważnik I_ {m}}$ i spełnia ograniczenie ${\ textstyle R_ {m} }\leq \prod _{i\neq m}R_{i}}$ musi się utrzymać.

Zwarty HOSVD jest dekompozycją ujawniającą rangę w tym sensie, że wymiary jego tensora rdzenia odpowiadają składowym wieloliniowego rzędu tensora.

Interpretacja

Poniższa interpretacja geometryczna obowiązuje zarówno dla pełnego, jak i zwartego HOSVD. Niech ${\ Displaystyle (R_ {1}, R_ {2}, \ ldots, R_ {M})}$ będzie wieloliniowym rzędem tensora ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$ . Ponieważ ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} \ in {\ mathbb {C}} ^ {R_ {1} \ razy R_ {2} \ razy \ cdots \ razy R_ {M}}} jest tablicą wielowymiarową,$ możemy rozwiń go w następujący sposób

{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} = \ suma _ {r_ {1} = 1} ^ {R_ {1}} \ suma _ {r_ {2} = 1} ^ {R_ {2}} \ cdots \ suma _{r_{M}=1}^{R_{M}}s_{r_{1},r_{2},\ldots,r_{M}}\mathbf {e} _{r_{1}}\ czasami \mathbf {e} _{r_{2}}\oraz \cdots \otimes \mathbf {e} _{r_{M}},}

mi

{\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {r_ {m}}}

jest standardowym wektorem bazowym r m {\ displaystyle r_ {m}} do

\

mathbb {C}} ^{I_{m}}}

. Z definicji mnożenia wieloliniowego wynika, że

{\ Displaystyle {\ mathcal {A}} = \ suma _ {r_ {1} = 1} ^ {R_ {1}} \ suma _ {r_ {2} = 1} ^ {R_ {2}} \ cdots \ suma _{r_{M}=1}^{R_{M}}s_{r_{1},r_{2},\ldots,r_{M}}\mathbf {u} _{r_{1}}\ orazy \mathbf {u} _{r_{2}}\orazy \cdots \otimes \mathbf {u} _{r_{M}},}

u

{\ Displaystyle \ mathbf {u} _ {r_ {m}}}

to kolumny

\ bf {U}} _ {m} \ in {\mathbb {C}}^{I_{m}\razy R_{m}}}

. Łatwo sprawdzić, że

mathbf {u} _ {r_ {M}}\}_{r_{1},r_{2},\ldots,r_{M}}}

jest ortonormalnym zbiorem tensorów. Oznacza to, że HOSVD można interpretować jako sposób wyrażenia tensora

w

odniesieniu do specjalnie wybranej podstawy ortonormalnej

współczynnikami

jako tablica wielowymiarowa

{S}}}

mathcal

Obliczenie

Niech ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} \ in {\ mathbb {C}} ^ {I_ {1} \ razy I_ {2} \ razy \ cdots \ razy I_ {M}}}$ być tensorem o randze - ${\ Displaystyle (R_ {1}, R_ {2}, \ ldots, R_ {M})}$ , gdzie do {\ Displaystyle \ mathbb { $}}$ zawiera liczby rzeczywiste ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ jako podzbiór.

Klasyczne obliczenia

Strategia obliczania wieloliniowych SVD i SVD w trybie M została wprowadzona w latach 60. XX wieku przez LR Tuckera , a następnie popierana przez L. De Lathauwer i in. oraz Vasilescu i Terzopulousa. Termin HOSVD został wymyślony przez Lievena De Lathauwera, ale algorytm zwykle określany w literaturze jako HOSVD został wprowadzony przez Vasilescu i Terzopoulosa pod nazwą M-mode SVD. Jest to obliczenia równoległe, które wykorzystują macierz SVD do obliczania macierzy trybu ortonormalnego.

SVD w trybie M:

Dla ${\ Displaystyle m = 0,1, \ ldots, M}$ wykonaj następujące czynności:

spłaszczenie modemu ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} _ {[m]}$ } ;
Oblicz (zwarty) rozkład na wartości osobliwe ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} _ {[m]} = {\ bf {U}} _ {m} {\ bf {\ Sigma}} _ {m} {\ bf {V}} _ {m} ^ {T}}$ i zapisz lewe wektory liczby pojedynczej ${\ Displaystyle {\ bf {U} }\in \mathbb {C} ^{I_{m}\razy R_{m}}}$ ;

${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} = {\ mathcal {A}} \ razy _ {0} {\ bf {U}} _ {0} ^ {H} \ razy _ {1} {\ bf {U }}_{1}^{H}\times _{2}{\bf {U}}_{2}^{H}\ldots \times _{m}{\bf {U}}_{m} ^{H}\ldots \times _{M}{\bf {U}}_{M}^{H}}$ tensor rdzenia $za$ pomocą mnożenia wieloliniowego

Obliczenia z przeplotem

Strategia, która jest znacznie szybsza, gdy niektóre lub wszystkie ${\ displaystyle r_ {k} \ ll n_ {k}}$ na przeplataniu obliczeń tensora rdzenia i macierzy czynników w następujący sposób: r

Za ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} ^ {0} = {\ mathcal {A}}$ ;
Dla ${\ Displaystyle m = 0,1,2 \ ldots, M}$ $m=0,1,2\ldots ,M$ wykonaj następujące czynności:
1. Skonstruuj tryb standardowy - m spłaszczanie ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} _ {[m]} ^ {m-1}}$ ;
2. Za [ $m]} ^ {m-1} = U_ {m} \Sigma _ {m} V_ {m} ^ {T}}$ i zapisz lewe wektory osobliwe ${\ Displaystyle U_ {m} \ in F ^ {I_ {m} \ razy R_ {m}}}$ ;
3. Za $\ Displaystyle {\ mathcal {A}} ^ {m} = U_ {m} ^ {H} \ razy _ {m} {\ mathcal {A}}$ lub równoważnie ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} _ {[m]} ^ {m} = \ Sigma _ {m} V_ {m}^{T}}$ .

Obliczenia na miejscu

HOSVD można obliczyć na miejscu za pomocą algorytmu Fused In-place Sequentially Truncated Higher Order Singular Value Decomposition (FIST-HOSVD) poprzez nadpisanie oryginalnego tensora przez tensor rdzenia HOSVD, znacznie zmniejszając zużycie pamięci podczas obliczania HOSVD.

Przybliżenie

W aplikacjach, takich jak te wymienione poniżej, powszechny problem polega na przybliżeniu danego tensora ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} \ in \ mathbb { C} ^{I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{m}\cdots \times I_{M}}} o jeden$ ze zmniejszoną rangą wieloliniową. Formalnie, jeśli wieloliniowy rząd jest oznaczony przez ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {pozycja-} (R_ {1}, R_ {2}, \ ldots, R_ {m}, \ ldots, R_ { M})}$ $,$ $przybliżenia$ optymalnego dla danego zredukowanego ${\ Displaystyle \ operatorname {ranga-} ({\ bar {R}} _ {1}, {\ bar {R}} _ {2}, \ ldots , {\ bar {R}} _ {m}, \ ldots, {\ bar {R}} _ {M}}} jest nieliniowym niewypukłym problemem -optymalizacji ℓ$ 2 { $\ ell _ {2}}$

{\ Displaystyle \ min _ {{\ mathcal {\ bar {A}}} \ w \ mathbb {C} ^ {I_ {1} \ razy I_ {2} \ razy \ cdots \ razy I_ {M}}} \frac {1}{2}}\|{\mathcal {A}}-{\mathcal {\bar {A}}}\|_{F}^{2}\quad {\text{st}}\ quad \mathrm {rank-} ({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots,{\bar {R}}_{M}),}

gdzie

{\ Displaystyle ({\ bar {R}} _ {1}, {\ bar {R}} _ {2}, \ ldots, {\ bar {R}} _ {M}} \ in \ mathbb {N} ^ {M}}

to zredukowana ranga wieloliniowa z

{\ Displaystyle 1 \ równoważnik {\ bar {R}}_{m}<R_{m}\leq I_{m}}

, a norma

{\ Displaystyle \|.\|_ {F}}

to norma Frobeniusa .

Prostym pomysłem na rozwiązanie tego problemu optymalizacji jest obcięcie (zwartego) SVD w kroku 2 obliczeń klasycznych lub z przeplotem. Klasycznie obcięty HOSVD uzyskuje się przez zastąpienie kroku 2 w klasycznych obliczeniach przez

Oblicz rangę - ${\ Displaystyle {\ bar {R}} _ {m}}$ obcięty SVD ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} _ {[m ]} \ około U_ {m} \ Sigma _ {m} V_ {m} ^ {T}}$ i zapisz górne wektory liczby pojedynczej ${\ Displaystyle {\ bar {R}} _ {m}}$ ${\ Displaystyle U_ {m} \ w F ^ {I_ {m} \ razy {\ bar {R}} _ {m}}}$ ;

podczas gdy sekwencyjnie obcinany HOSVD (lub kolejno obcinany HOSVD ) jest uzyskiwany przez zastąpienie kroku 2 w obliczeniach z przeplotem przez

Oblicz rangę - ${\ Displaystyle {\ bar {R}} _ {m}}$ obcięty SVD ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} _ {[m]}^{m-1}\około U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}} i zapisz górę R ¯$ m ${\ bar {R}} _{m}}$ lewe wektory osobliwe ${\ Displaystyle U_ {m} \ w F ^ {I_ {m} \ razy {\ bar {R}} _ {m}}}$ . Niestety, obcięcie nie daje optymalnego rozwiązania dla problemu optymalizacji najlepszych niskich rang wieloliniowych. Jednak zarówno klasycznie, jak i przeplatane obcięte HOSVD dają $quasi$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {\ bar {A}}} ^ {*}}$ rozwiązanie : jeśli oznacza klasycznie lub sekwencyjnie obcięte oznacza optymalne rozwiązanie problemu aproksymacji najlepszych niskich rang wieloliniowych, a następnie ${\ Displaystyle \| {\ mathcal {A}} - {\ mathcal {\ bar {A}}} _ {t} \|_ {F} \ równoważnik {\ sqrt {M}} \ | {\ mathcal {A }}-{\mathcal {\bar {A}}}^{*}\|_{F};}$ w praktyce oznacza to, że jeśli istnieje optymalne rozwiązanie z małym błędem, to okrojony HOSVD dla wielu zamierzonych celów również da wystarczająco dobre rozwiązanie.

Aplikacje

HOSVD jest najczęściej stosowany do wydobywania odpowiednich informacji z tablic wielokierunkowych.

Począwszy od początku XXI wieku, Vasilescu zajmował się kwestiami przyczynowymi, przeformułowując problemy analizy, rozpoznawania i syntezy danych jako wieloliniowe problemy tensorowe. Potęga struktury tensorowej została zademonstrowana poprzez dekompozycję i reprezentację obrazu pod względem przyczynowych czynników tworzenia danych, w kontekście sygnatur ruchu człowieka do rozpoznawania chodu, rozpoznawania twarzy — TensorFaces i grafiki komputerowej — TensorTextures.

HOSVD został z powodzeniem zastosowany do przetwarzania sygnałów i dużych zbiorów danych, np. w przetwarzaniu sygnałów genomowych. Aplikacje te zainspirowały również GSVD wyższego rzędu (HO GSVD) i tensor GSVD.

Kombinacja HOSVD i SVD została również zastosowana do wykrywania zdarzeń w czasie rzeczywistym ze złożonych strumieni danych (dane wielowymiarowe z wymiarami przestrzennymi i czasowymi) w nadzorze nad chorobami .

Jest również używany w projektowaniu kontrolerów opartych na transformacji modeli produktów tensorowych .

Koncepcja HOSVD została przeniesiona do funkcji przez Baranyi i Yam poprzez transformację modelu TP . To rozszerzenie doprowadziło do zdefiniowania kanonicznej postaci funkcji iloczynu tensorowego opartej na HOSVD i modeli systemów o zmiennych parametrach liniowych oraz do teorii optymalizacji sterowania opartej na manipulacji wypukłym kadłubem, patrz transformacja modelu TP w teoriach sterowania .

Zaproponowano zastosowanie HOSVD do analizy danych z wielu widoków iz powodzeniem zastosowano go do odkrywania leków in silico na podstawie ekspresji genów.

Solidny wariant z normą L1

L1-Tucker to oparty na normie L1 , solidny wariant dekompozycji Tuckera . L1-HOSVD jest odpowiednikiem HOSVD dla rozwiązania L1-Tucker.

^ ^a ^b Hitchcock, Frank L (1928-04-01). „Wiele niezmienników i uogólniona ranga tablicy M-Way lub tensora”. Dziennik matematyki i fizyki . 7 (1–4): 39–79. doi : 10.1002/sapm19287139 . ISSN 1467-9590 .
^ Tucker, Ledyard R. (1966-09-01). „Kilka uwag matematycznych na temat analizy czynnikowej w trzech trybach”. Psychometria . 31 (3): 279–311. doi : 10.1007/bf02289464 . ISSN 0033-3123 . PMID 5221127 . S2CID 44301099 .
^ ^b ^Tucker , LR (1963). „Implikacje analizy czynnikowej macierzy trójdrożnych do pomiaru zmiany”. W CW Harris (red.), Problemy w mierzeniu zmian. Madison, Wis.: Uniw. Naciśnij. : 122–137.
^ Tucker, LR (1964). „Rozszerzenie analizy czynnikowej na macierze trójwymiarowe”. W N. Frederiksen i H. Gulliksen (red.), Wkład do psychologii matematycznej. Nowy Jork: Holt, Rinehart i Winston : 109–127.
^ ^a ^b ^c ^d De Lathauwer, L .; De Moor, B.; Vandewalle, J. (2000-01-01). „Wieloliniowy rozkład wartości osobliwych”. SIAM Journal o analizie macierzy i zastosowaniach . 21 (4): 1253–1278. CiteSeerX 10.1.1.102.9135 . doi : 10.1137/s0895479896305696 . ISSN 0895-4798 .
^ ^a ^b ^c ^d ^e M. AO Vasilescu, D. Terzopoulos (2002) pod nazwą M-mode SVD. Jest to szczególny ortogonalny Tucker, który jest odpowiedni do obliczeń równoległych „Multilinear Analysis of Image Ensembles: TensorFaces” , Proc. 7th European Conference on Computer Vision (ECCV'02), Kopenhaga, Dania, maj 2002
^ ^a ^b M. AO Vasilescu, D. Terzopoulos (2003) „Multilinear Subspace Analysis of Image Ensembles” , „Proceedings of the IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR'03), Madison, WI, czerwiec 2003”
^ ^a ^b ^c ^d M. AO Vasilescu, D. Terzopoulos (2005) „Multilinear Independent Component Analysis” , „Proceedings of the IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR'05), San Diego, Kalifornia, czerwiec 2005, tom .1, 547–553”.
Bibliografia _ Zhiwei, Qin (2014). „Solidne odzyskiwanie tensorów niskiego rzędu: modele i algorytmy”. SIAM Journal o analizie macierzy i zastosowaniach . 35 (1): 225–253. ar Xiv : 1311.6182 . doi : 10.1137/130905010 . S2CID 1051205 .
^ ^abc ^Chachlakis ^.; , Dimitris G Prater-Bennette, Ashley; Markopoulos, Panos P. (22 listopada 2019). „Rozkład tensora Tuckera w normie L1” . Dostęp IEEE . 7 : 178454–178465. doi : 10.1109/ACCESS.2019.2955134 .
^ ^{ab Markopoulos,}^Panos P.; Chachlakis, Dimitris G.; Papalexakis, Evangelos (kwiecień 2018). „Dokładne rozwiązanie rozkładu rangi 1 L1-Norm TUCKER2” . Listy przetwarzania sygnału IEEE . 25 (4): 511–515. ar Xiv : 1710.11306 . Bibcode : 2018ISPL...25..511M . doi : 10.1109/LSP.2018.2790901 . S2CID 3693326 .
^ ^{ab Markopoulos,}^Panos P.; Chachlakis, Dimitris G.; Prater-Bennette, Ashley (21 lutego 2019). „Dekompozycja wartości osobliwej wyższego rzędu normy L1” . IEEE Proc. Globalna konferencja IEEE 2018 na temat przetwarzania sygnałów i informacji : 1353–1357. doi : 10.1109/GlobalSIP.2018.8646385 . ISBN 978-1-7281-1295-4 . S2CID 67874182 .
^ ^a ^b Carlini, Enrico; Kleppe, Johannes (2011). „Rangi wyprowadzone z map wieloliniowych” . Dziennik algebry czystej i stosowanej . 215 (8): 1999–2004. doi : 10.1016/j.jpaa.2010.11.010 .
^ ^abc ^{Vannieuwenhoven}^, N.; Vandebril R.; Meerbergen, K. (2012-01-01). „Nowa strategia obcinania dla rozkładu wartości osobliwej wyższego rzędu” . SIAM Journal o obliczeniach naukowych . 34 (2): A1027–A1052. doi : 10.1137/110836067 . ISSN 1064-8275 .
^ ^a ^b Hackbusch, Wolfgang (2012). Przestrzenie tensorowe i numeryczny rachunek tensorowy | Springer Link . Seria Springera w matematyce obliczeniowej. Tom. 42. doi : 10.1007/978-3-642-28027-6 . ISBN 978-3-642-28026-9 .
^ ^a ^b ^c ^d Cobb, Benjamin; Kolla, Hemanth; Phipps, Eric; Çatalyürek, Ümit V. (2022). FIST-HOSVD: Stopiony w miejscu, sekwencyjnie obcięty, dekompozycja wartości osobliwej wyższego rzędu . Platforma zaawansowanych obliczeń naukowych (PASC). doi : 10.1145/3539781.3539798 . ISBN 9781450394109 .
^ Grasedyck, L. (2010-01-01). „Hierarchiczny rozkład tensorów na wartości osobliwe”. SIAM Journal o analizie macierzy i zastosowaniach . 31 (4): 2029–2054. CiteSeerX 10.1.1.660.8333 . doi : 10.1137/090764189 . ISSN 0895-4798 .
^ MAO Vasilescu (2002) „Podpisy ruchu ludzkiego: analiza, synteza, rozpoznawanie”, Proceedings of International Conference on Pattern Recognition (ICPR 2002), tom. 3, Quebec City, Kanada, sierpień 2002, s. 456–460.
Referencje _ _ _ 2003, 93–99.
^ MAO Vasilescu, D. Terzopoulos (2002) „Wieloliniowa analiza zespołów obrazów: TensorFaces”, Proc. 7th European Conference on Computer Vision (ECCV'02), Kopenhaga, Dania, maj 2002, w Computer Vision -- ECCV 2002, Lecture Notes in Computer Science, tom. 2350, A. Heyden i in. (red.), Springer-Verlag, Berlin, 2002, 447–460.
^ MAO Vasilescu, D. Terzopoulos (2004) „TensorTextures: wieloliniowe renderowanie oparte na obrazie”, MAO Vasilescu i D. Terzopoulos, Proc. Konferencja ACM SIGGRAPH 2004 Los Angeles, Kalifornia, sierpień 2004, w Computer Graphics Proceedings, Annual Conference Series, 2004, 336–342.
Bibliografia _ GH Golub; O. Alter (listopad 2007). „Dekompozycja wartości osobliwej wyższego rzędu tensora do integracyjnej analizy danych z mikromacierzy DNA z różnych badań” . PNAS . 104 (47): 18371–18376. Bibcode : 2007PNAS..10418371O . doi : 10.1073/pnas.0709146104 . PMC 2147680 . PMID 18003902 .
Bibliografia _ JR Meyersona; K. Kobayashiego; LS Drury; JFX Diffley; O. Alter (październik 2009). „Globalny wpływ replikacji DNA i aktywności pochodzenia replikacji DNA na ekspresję genów eukariotycznych” . Biologia systemów molekularnych . 5 : 312. doi : 10.1038/msb.2009.70 . PMC 2779084 . PMID 19888207 . Zaznacz .
^ C. Muralidhara; AM brutto; RR Gutell; O. Alter (kwiecień 2011). „Dekompozycja tensorowa ujawnia równoczesne ewolucyjne zbieżności i rozbieżności oraz korelacje z motywami strukturalnymi w rybosomalnym RNA” . PLOS JEDEN . 6 (4): e18768. Bibcode : 2011PLoSO...618768M . doi : 10.1371/journal.pone.0018768 . PMC 3094155 . PMID 21625625 . Zaznacz .
Bibliografia _ mgr Saundersa; Pożyczka CF Van; O. Alter (grudzień 2011). „Uogólniony rozkład wartości pojedynczej wyższego rzędu do porównania globalnej ekspresji mRNA z wielu organizmów” . PLOS JEDEN . 6 (12): e28072. Bibcode : 2011PLoSO...628072P . doi : 10.1371/journal.pone.0028072 . PMC 3245232 . PMID 22216090 . Zaznacz .
^ P. Sankaranarayanan; TE Schomay; KA Aiello; O. Alter (kwiecień 2015). „Tensor GSVD guza dopasowanego do pacjenta i platformy oraz profil liczby kopii normalnego DNA ujawnia wzorce obejmujące całe ramię chromosomu wyłącznych dla guza zmian zgodnych z platformą, kodujących transformację komórek i przewidujących przeżycie raka jajnika” . PLOS JEDEN . 10 (4): e0121396. Bibcode : 2015PLoSO..1021396S . doi : 10.1371/journal.pone.0121396 . PMC 4398562 . PMID 25875127 . AAAS Eurek Uwaga! Komunikat prasowy i funkcja podcastu NAE .
Bibliografia _ João Gama (maj 2015). „EigenEvent: algorytm wykrywania zdarzeń ze złożonych strumieni danych w nadzorze syndromicznym”. Inteligentna analiza danych . 19 (3): 597–616. ar Xiv : 1406.3496 . Bibcode : 2014arXiv1406.3496F . doi : 10.3233/IDA-150734 . S2CID 17966555 .
^ ^a ^b P. Baranyi (kwiecień 2004). „Transformacja modelu TP jako sposób na projektowanie kontrolerów opartych na LMI”. Transakcje IEEE dotyczące elektroniki przemysłowej . 51 (2): 387–400. doi : 10.1109/tie.2003.822037 . S2CID 7957799 .
^ ^a ^b P. Baranyi; D. Tikk; Y. Jam; RJ Pattona (2003). „Od równań różniczkowych do projektowania kontrolera PDC poprzez transformację numeryczną”. Komputery w przemyśle . 51 (3): 281–297. doi : 10.1016/s0166-3615(03)00058-7 .
^ P. Baranyi; L. Szeidla; P. Várlaki; Y. Yam (3-5 lipca 2006). Definicja kanonicznej postaci wielotopowych modeli dynamicznych opartej na HOSVD . III Międzynarodowa Konferencja Mechatroniki (ICM 2006). Budapeszt, Węgry. s. 660–665.
Bibliografia _ Taguchi (sierpień 2017). „Nienadzorowana ekstrakcja cech oparta na dekompozycji tensorowej zastosowana w produktach macierzowych do przetwarzania danych w wielu widokach” . PLOS JEDEN . 12 (8): e0183933. Bibcode : 2017PLoSO..1283933T . doi : 10.1371/journal.pone.0183933 . PMC 5571984 . PMID 28841719 .
Bibliografia _ Taguchi (październik 2017). „Identyfikacja leków kandydujących przy użyciu nienadzorowanej ekstrakcji cech opartej na rozkładzie tensorowym w zintegrowanej analizie ekspresji genów między chorobami a zbiorami danych DrugMatrix” . Raporty naukowe . 7 (1): 13733. Bibcode : 2017NatSR...713733T . doi : 10.1038/s41598-017-13003-0 . PMC 5653784 . PMID 29062063 .

[:0-1] Hitchcock, Frank L (1928-04-01). „Wiele niezmienników i uogólniona ranga tablicy M-Way lub tensora”. Dziennik matematyki i fizyki . 7 (1–4): 39–79. doi : 10.1002/sapm19287139 . ISSN 1467-9590 .

[:1-2] Tucker, Ledyard R. (1966-09-01). „Kilka uwag matematycznych na temat analizy czynnikowej w trzech trybach”. Psychometria . 31 (3): 279–311. doi : 10.1007/bf02289464 . ISSN 0033-3123 . PMID 5221127 . S2CID 44301099 .

[Tucker1963-3] Tucker , LR (1963). „Implikacje analizy czynnikowej macierzy trójdrożnych do pomiaru zmiany”. W CW Harris (red.), Problemy w mierzeniu zmian. Madison, Wis.: Uniw. Naciśnij. : 122–137.

[Tucker1964-4] Tucker, LR (1964). „Rozszerzenie analizy czynnikowej na macierze trójwymiarowe”. W N. Frederiksen i H. Gulliksen (red.), Wkład do psychologii matematycznej. Nowy Jork: Holt, Rinehart i Winston : 109–127.

[:2-5] De Lathauwer, L .; De Moor, B.; Vandewalle, J. (2000-01-01). „Wieloliniowy rozkład wartości osobliwych”. SIAM Journal o analizie macierzy i zastosowaniach . 21 (4): 1253–1278. CiteSeerX 10.1.1.102.9135 . doi : 10.1137/s0895479896305696 . ISSN 0895-4798 .

[:Vasilescu2002-6] M. AO Vasilescu, D. Terzopoulos (2002) pod nazwą M-mode SVD. Jest to szczególny ortogonalny Tucker, który jest odpowiedni do obliczeń równoległych „Multilinear Analysis of Image Ensembles: TensorFaces” , Proc. 7th European Conference on Computer Vision (ECCV'02), Kopenhaga, Dania, maj 2002

[Vasilescu2003-7] M. AO Vasilescu, D. Terzopoulos (2003) „Multilinear Subspace Analysis of Image Ensembles” , „Proceedings of the IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR'03), Madison, WI, czerwiec 2003”

[:Vasilescu2005-8] M. AO Vasilescu, D. Terzopoulos (2005) „Multilinear Independent Component Analysis” , „Proceedings of the IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR'05), San Diego, Kalifornia, czerwiec 2005, tom .1, 547–553”.

[robustHOSVD-9] Bibliografia _ Zhiwei, Qin (2014). „Solidne odzyskiwanie tensorów niskiego rzędu: modele i algorytmy”. SIAM Journal o analizie macierzy i zastosowaniach . 35 (1): 225–253. ar Xiv : 1311.6182 . doi : 10.1137/130905010 . S2CID 1051205 .

[l1tucker-10] Chachlakis ^.; , Dimitris G Prater-Bennette, Ashley; Markopoulos, Panos P. (22 listopada 2019). „Rozkład tensora Tuckera w normie L1” . Dostęp IEEE . 7 : 178454–178465. doi : 10.1109/ACCESS.2019.2955134 .

[l1tucker3-11] {ab Markopoulos,}^Panos P.; Chachlakis, Dimitris G.; Papalexakis, Evangelos (kwiecień 2018). „Dokładne rozwiązanie rozkładu rangi 1 L1-Norm TUCKER2” . Listy przetwarzania sygnału IEEE . 25 (4): 511–515. ar Xiv : 1710.11306 . Bibcode : 2018ISPL...25..511M . doi : 10.1109/LSP.2018.2790901 . S2CID 3693326 .

[l1tucker2-12] {ab Markopoulos,}^Panos P.; Chachlakis, Dimitris G.; Prater-Bennette, Ashley (21 lutego 2019). „Dekompozycja wartości osobliwej wyższego rzędu normy L1” . IEEE Proc. Globalna konferencja IEEE 2018 na temat przetwarzania sygnałów i informacji : 1353–1357. doi : 10.1109/GlobalSIP.2018.8646385 . ISBN 978-1-7281-1295-4 . S2CID 67874182 .

[:3-13] Carlini, Enrico; Kleppe, Johannes (2011). „Rangi wyprowadzone z map wieloliniowych” . Dziennik algebry czystej i stosowanej . 215 (8): 1999–2004. doi : 10.1016/j.jpaa.2010.11.010 .

[:4-14] {Vannieuwenhoven}^, N.; Vandebril R.; Meerbergen, K. (2012-01-01). „Nowa strategia obcinania dla rozkładu wartości osobliwej wyższego rzędu” . SIAM Journal o obliczeniach naukowych . 34 (2): A1027–A1052. doi : 10.1137/110836067 . ISSN 1064-8275 .

[:5-15] Hackbusch, Wolfgang (2012). Przestrzenie tensorowe i numeryczny rachunek tensorowy | Springer Link . Seria Springera w matematyce obliczeniowej. Tom. 42. doi : 10.1007/978-3-642-28027-6 . ISBN 978-3-642-28026-9 .

[:fist_hosvd-16] Cobb, Benjamin; Kolla, Hemanth; Phipps, Eric; Çatalyürek, Ümit V. (2022). FIST-HOSVD: Stopiony w miejscu, sekwencyjnie obcięty, dekompozycja wartości osobliwej wyższego rzędu . Platforma zaawansowanych obliczeń naukowych (PASC). doi : 10.1145/3539781.3539798 . ISBN 9781450394109 .

[17] Grasedyck, L. (2010-01-01). „Hierarchiczny rozkład tensorów na wartości osobliwe”. SIAM Journal o analizie macierzy i zastosowaniach . 31 (4): 2029–2054. CiteSeerX 10.1.1.660.8333 . doi : 10.1137/090764189 . ISSN 0895-4798 .

[Vasilescu2002b2-18] MAO Vasilescu (2002) „Podpisy ruchu ludzkiego: analiza, synteza, rozpoznawanie”, Proceedings of International Conference on Pattern Recognition (ICPR 2002), tom. 3, Quebec City, Kanada, sierpień 2002, s. 456–460.

[Vasilescu20032-19] Referencje _ _ _ 2003, 93–99.

[Vasilescu2002a2-20] MAO Vasilescu, D. Terzopoulos (2002) „Wieloliniowa analiza zespołów obrazów: TensorFaces”, Proc. 7th European Conference on Computer Vision (ECCV'02), Kopenhaga, Dania, maj 2002, w Computer Vision -- ECCV 2002, Lecture Notes in Computer Science, tom. 2350, A. Heyden i in. (red.), Springer-Verlag, Berlin, 2002, 447–460.

[Vasilescu20042-21] MAO Vasilescu, D. Terzopoulos (2004) „TensorTextures: wieloliniowe renderowanie oparte na obrazie”, MAO Vasilescu i D. Terzopoulos, Proc. Konferencja ACM SIGGRAPH 2004 Los Angeles, Kalifornia, sierpień 2004, w Computer Graphics Proceedings, Annual Conference Series, 2004, 336–342.

[22] Bibliografia _ GH Golub; O. Alter (listopad 2007). „Dekompozycja wartości osobliwej wyższego rzędu tensora do integracyjnej analizy danych z mikromacierzy DNA z różnych badań” . PNAS . 104 (47): 18371–18376. Bibcode : 2007PNAS..10418371O . doi : 10.1073/pnas.0709146104 . PMC 2147680 . PMID 18003902 .

[23] Bibliografia _ JR Meyersona; K. Kobayashiego; LS Drury; JFX Diffley; O. Alter (październik 2009). „Globalny wpływ replikacji DNA i aktywności pochodzenia replikacji DNA na ekspresję genów eukariotycznych” . Biologia systemów molekularnych . 5 : 312. doi : 10.1038/msb.2009.70 . PMC 2779084 . PMID 19888207 . Zaznacz .

[24] C. Muralidhara; AM brutto; RR Gutell; O. Alter (kwiecień 2011). „Dekompozycja tensorowa ujawnia równoczesne ewolucyjne zbieżności i rozbieżności oraz korelacje z motywami strukturalnymi w rybosomalnym RNA” . PLOS JEDEN . 6 (4): e18768. Bibcode : 2011PLoSO...618768M . doi : 10.1371/journal.pone.0018768 . PMC 3094155 . PMID 21625625 . Zaznacz .

[25] Bibliografia _ mgr Saundersa; Pożyczka CF Van; O. Alter (grudzień 2011). „Uogólniony rozkład wartości pojedynczej wyższego rzędu do porównania globalnej ekspresji mRNA z wielu organizmów” . PLOS JEDEN . 6 (12): e28072. Bibcode : 2011PLoSO...628072P . doi : 10.1371/journal.pone.0028072 . PMC 3245232 . PMID 22216090 . Zaznacz .

[26] P. Sankaranarayanan; TE Schomay; KA Aiello; O. Alter (kwiecień 2015). „Tensor GSVD guza dopasowanego do pacjenta i platformy oraz profil liczby kopii normalnego DNA ujawnia wzorce obejmujące całe ramię chromosomu wyłącznych dla guza zmian zgodnych z platformą, kodujących transformację komórek i przewidujących przeżycie raka jajnika” . PLOS JEDEN . 10 (4): e0121396. Bibcode : 2015PLoSO..1021396S . doi : 10.1371/journal.pone.0121396 . PMC 4398562 . PMID 25875127 . AAAS Eurek Uwaga! Komunikat prasowy i funkcja podcastu NAE .

[27] Bibliografia _ João Gama (maj 2015). „EigenEvent: algorytm wykrywania zdarzeń ze złożonych strumieni danych w nadzorze syndromicznym”. Inteligentna analiza danych . 19 (3): 597–616. ar Xiv : 1406.3496 . Bibcode : 2014arXiv1406.3496F . doi : 10.3233/IDA-150734 . S2CID 17966555 .

[Baranyi042-28] P. Baranyi (kwiecień 2004). „Transformacja modelu TP jako sposób na projektowanie kontrolerów opartych na LMI”. Transakcje IEEE dotyczące elektroniki przemysłowej . 51 (2): 387–400. doi : 10.1109/tie.2003.822037 . S2CID 7957799 .

[compind2-29] P. Baranyi; D. Tikk; Y. Jam; RJ Pattona (2003). „Od równań różniczkowych do projektowania kontrolera PDC poprzez transformację numeryczną”. Komputery w przemyśle . 51 (3): 281–297. doi : 10.1016/s0166-3615(03)00058-7 .

[canon12-30] P. Baranyi; L. Szeidla; P. Várlaki; Y. Yam (3-5 lipca 2006). Definicja kanonicznej postaci wielotopowych modeli dynamicznych opartej na HOSVD . III Międzynarodowa Konferencja Mechatroniki (ICM 2006). Budapeszt, Węgry. s. 660–665.

[31] Bibliografia _ Taguchi (sierpień 2017). „Nienadzorowana ekstrakcja cech oparta na dekompozycji tensorowej zastosowana w produktach macierzowych do przetwarzania danych w wielu widokach” . PLOS JEDEN . 12 (8): e0183933. Bibcode : 2017PLoSO..1283933T . doi : 10.1371/journal.pone.0183933 . PMC 5571984 . PMID 28841719 .

[32] Bibliografia _ Taguchi (październik 2017). „Identyfikacja leków kandydujących przy użyciu nienadzorowanej ekstrakcji cech opartej na rozkładzie tensorowym w zintegrowanej analizie ekspresji genów między chorobami a zbiorami danych DrugMatrix” . Raporty naukowe . 7 (1): 13733. Bibcode : 2017NatSR...713733T . doi : 10.1038/s41598-017-13003-0 . PMC 5653784 . PMID 29062063 .