Diagram Bratteli-Vershika
W matematyce diagram Bratteli-Veršika jest uporządkowanym, zasadniczo prostym diagramem Bratteli ( V , E ) z homeomorfizmem na zbiorze wszystkich nieskończonych ścieżek, zwanym transformacją Veršhika. Jej nazwa pochodzi od Oli Bratteli i Anatolija Vershika .
Definicja
Niech X = {( mi 1 , mi 2 , ...) | e ja ∈ mi i oraz r ( e i ) = s ( e ja +1 )} będą zbiorem wszystkich ścieżek w zasadniczo prostym diagramie Bratteli ( V , E ). Niech E min będzie zbiorem wszystkich krawędzi minimalnych w E , podobnie niech E max będzie zbiorem wszystkich krawędzi maksymalnych. Niech y będzie jedyną nieskończoną ścieżką w E max . (Diagramy, które posiadają unikalną nieskończoną ścieżkę, nazywane są „zasadniczo prostymi”).
Transformacja Veršhika jest homeomorfizmem φ : X → X zdefiniowanym tak, że φ( x ) jest unikalną ścieżką minimalną, jeśli x = y . W przeciwnym razie x = ( mi 1 , mi 2 ,...) | mi ja ∈ mi ja gdzie co najmniej jeden mi ja ∉ mi max . Niech k będzie najmniejszą taką liczbą całkowitą. Wtedy φ( x ) = ( fa 1 , fa 2 , ..., fa k −1 , mi k + 1, mi k +1 , ... ), gdzie e k + 1 jest następnikiem e k w całkowite uporządkowanie krawędzi incydentnych na r ( e k ) i ( f 1 , f 2 , ..., f k −1 ) jest unikalną minimalną ścieżką do e k + 1.
Transformacja Veršhika pozwala nam skonstruować spiczasty układ topologiczny ( X , φ , y ) z dowolnego uporządkowanego, zasadniczo prostego diagramu Bratteli. Zdefiniowana jest również konstrukcja odwrotna.
Równorzędność
Pojęcie grafu mniejszego można promować od dobrze quasi-porządkującego do relacji równoważności , jeśli założymy, że relacja jest symetryczna . Jest to pojęcie równoważności stosowane w przypadku diagramów Bratteli.
Głównym wynikiem w tej dziedzinie jest to, że równoważne zasadniczo proste uporządkowane diagramy Bratteli odpowiadają topologicznie sprzężonym punktowym układom dynamicznym . To pozwala nam zastosować wyniki z pierwszego pola do drugiego i odwrotnie.
Zobacz też
Notatki
Dalsza lektura
- Dooley, Anthony H. (2003). „Odometry Markowa” . W Bezuglyi, Siergiej; Kolyada, Siergiej (red.). Zagadnienia z dynamiki i teorii ergodycznej. Artykuły przeglądowe i mini-kursy zaprezentowane na międzynarodowej konferencji i amerykańsko-ukraińskich warsztatach na temat układów dynamicznych i teorii ergodycznej, Katsiveli, Ukraina, 21–30 sierpnia 2000 r . Londyn. Matematyka soc. Wykład. Uwaga Ser. Tom. 310. Cambridge: Cambridge University Press . s. 60–80. ISBN 0-521-53365-1 . Zbl 1063.37005 .