Licznik Markowa

W matematyce drogomierz Markowa jest pewnym typem topologicznego układu dynamicznego . Odgrywa fundamentalną rolę w teorii ergodycznej , a zwłaszcza w teorii orbit układów dynamicznych , ponieważ twierdzenie H. Dye stwierdza, że ​​każda ergodyczna nieosobliwa transformacja jest równoważna orbitalnie licznikowi Markowa.

Podstawowym przykładem takiego systemu jest „nieosobliwy licznik kilometrów”, który jest addytywną grupą topologiczną zdefiniowaną na przestrzeni iloczynu przestrzeni dyskretnych , indukowaną przez dodawanie zdefiniowane jako ${\ Displaystyle x \ mapsto x + {\ podkreślenie { 1}}}$ , gdzie ${\ Displaystyle {\ podkreślenie {1}}: = (1,0,0, \ kropki)}$ . Grupę tę można wyposażyć w strukturę a układ dynamiczny ; wynikiem jest konserwatywny system dynamiczny .

Ogólną postać, zwaną „drogomierzem Markowa”, można skonstruować za pomocą diagramu Bratteli – Vershika w celu zdefiniowania kompaktowej przestrzeni Bratteli – Vershika wraz z odpowiednią transformacją.

Niepojedyncze liczniki kilometrów

Można zdefiniować kilka rodzajów nieosobliwych liczników kilometrów. Są one czasami nazywane maszynami sumującymi . Najprostszy jest zilustrowany procesem Bernoulliego . Jest to zbiór wszystkich nieskończonych ciągów w $tutaj$ , przez Ta definicja w naturalny sposób rozciąga się na bardziej ogólny licznik kilometrów zdefiniowany w przestrzeni produktu

${\ Displaystyle \ Omega = \ prod _ {n \ w \ mathbb {N}} \ lewo (\ mathbb {Z} / k_ {n} \ mathbb {Z} \Prawidłowy)}$

dla pewnej sekwencji liczb całkowitych ${\ Displaystyle (k_ {n})}$ z każdym ${\ Displaystyle k_ {n} \ geq 2.}$

Drogomierz dla wszystkich $= 2}$ nazywany drogomierzem diadycznym , maszyną sumującą von Neumanna – Kakutaniego lub maszyną sumującą diadycznie . ${\ displaystyle k_ { n$

Topologiczna entropia każdej maszyny dodającej wynosi zero. Każda ciągła mapa przedziału z entropią topologiczną równą zero jest topologicznie sprzężona z maszyną dodającą, gdy jest ograniczona do jej działania na topologicznie niezmiennym zbiorze przechodnim, z usuniętymi orbitami okresowymi.

Dwójkowy licznik kilometrów

Diadyczny licznik $kilometrów$ jako transformacja wymiany interwałów z mapowaniem ${\ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots) \ mapsto \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {x_ {n}} {2 ^ {n}}}. }$

Diadyczny licznik kilometrów został powtórzony dwukrotnie; czyli ${\ Displaystyle T ^ {2}.}$

Dwójkowy licznik kilometrów trzykrotnie iterowany; czyli ${\ Displaystyle T ^ {3}.}$

Dwójkowy licznik kilometrów powtarzany czterokrotnie; czyli ${\ Displaystyle T ^ {4}.}$

Zbiór wszystkich nieskończonych ciągów w ciągach $naturalną$ topologię produktu generowaną przez zestawy cylindrów . Topologia produktu rozciąga się na sigma-algebrę Borela ; niech $oznaczają$ tę algebrę $oznaczane$ punkty jako ${\ Displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ cdots).}$

Proces Bernoulliego jest tradycyjnie wyposażony w zbiór miar , miar Bernnoulliego, podanych przez ${\ Displaystyle \ mu _ {p} (x_ {n} = 1) = p}$ i ${\ Displaystyle \ mu _ {p} (x_ {n} = 0) = 1-p}$ , dla niektórych ${\ Displaystyle 0 <p <1}$ niezależnie od ${\ displaystyle n}$ . Wartość ${\ displaystyle p = 1/2}$ jest raczej wyjątkowa; odpowiada $postrzegana$ szczególnemu przypadkowi miary Haara , kiedy jest jako zwarta grupa abelowa . Zauważ, że miara Bernoulliego to nie to samo, co miara 2-adyczna na diadycznych liczbach całkowitych ! Formalnie można zauważyć, że ${\ Displaystyle \ Omega}$ jest również przestrzenią bazową dla diadycznych liczb całkowitych; jednak diadyczne liczby całkowite są wyposażone w metrykę , metrykę p-adic, która indukuje topologię metryczną odmienną od topologii iloczynu użytej tutaj.

Przestrzeń można wyposażyć w dodatek, zdefiniowany jako dodawanie współrzędnych, z bitem $.$ To znaczy dla każdej współrzędnej niech ${\ Displaystyle (x + y) _ {n} = x_ {n} + y_ {n} + \ varepsilon _ {n} \, {\ bmod {\,}} 2}$ gdzie ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {0} = 0}$ i

${\ Displaystyle \ varepsilon _ {n} = {\ rozpocząć {przypadki} 0 i x_ {n-1} + y_{n-1}<2\\1&x_{n-1}+y_{n-1}=2\end{przypadki}}}$

indukcyjnie. Przyrost o jeden jest wtedy nazywany licznikiem kilometrów (dwójkowym) . Jest to transformacja podana przez ${\ Displaystyle T: \ Omega \ do \ Omega} ,$$}$ } gdzie ${\ Displaystyle {\ podkreślenie {1}}: = (1,0,0, \ kropki)}$ . Nazywa się to licznikiem kilometrów ze względu na to, jak to wygląda, gdy „przewraca się” $:$ transformacją ${\ Displaystyle T \ lewo (1, \ kropki, 1,0, x_ {k + 1}, x_ {k + 2}, \ kropki \ po prawej) = \ lewo (0, \ kropki, 0,1, x_ { k+1},x_{k+2},\kropki \po prawej)}$ . Zauważ, że i że ${\ Displaystyle T ^ {- 1} (0,0, \ cdots) = (1,1, \ cdots$$T}$$}$$displaystyle$ jest , to znaczy ${\ Displaystyle T ^ {- 1} (\ sigma) \ w {\ mathcal {B}}}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle \ sigma \ w {\ mathcal {B}}.}$

Transformacja nie jest pojedyncza dla każdego $\ mu _ {p}$$displaystyle$ . Przypomnijmy, $∈$ transformacja nie jest liczbą pojedynczą, gdy biorąc pod uwagę, jeden $B}}}$ Displaystyle \ sigma \ in { ma to ${\ Displaystyle \ mu (\ tau ^ {- 1} \ sigma) = 0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle \ mu (\ sigma) = 0}$ . W tym przypadku można znaleźć

${\ Displaystyle {\ Frac {d \ mu _ {p} \ circ T} {d \ mu _ {p}}} = \ lewo ({\ frac {1-p}{p}}\right)^{\varphi}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ varphi (x) = \ min \ lewo \ {n \ w \ mathbb {N} \ mid x_ {n} = 0 \ prawo\}-2}$ . Stąd $liczbą$ pojedynczą w odniesieniu do ${\ displaystyle \ mu _ {p}$ .

Transformacja jest ergodyczna . $_$ Wynika to z faktu, że dla każdej i $n}$ naturalnej ${\ Displaystyle$ pod ${\ Displaystyle x$ pod ${\ Displaystyle T ^ {0}, T ^ {1}, \ cdots, T ^ {2 ^ {n} -1}}$ to zbiór ${\ Displaystyle \ {0,1 \} ^ {n}}$ . $ponieważ$ z kolei implikuje, że jest konserwatywna , każda odwracalna ergodyczna nieosobliwa transformacja w przestrzeni nieatomowej jest konserwatywna.

Zauważ, że w szczególnym przypadku ${\ Displaystyle p = 1/2}$ , że ${\ Displaystyle \ lewo (\ Omega, {\ mathcal {B} },\mu _{1/2},T\right)}$ jest systemem dynamicznym zachowującym miary .

Liczniki całkowite

Ta sama konstrukcja umożliwia zdefiniowanie takiego układu dla każdego iloczynu przestrzeni dyskretnych . Ogólnie pisze się

${\ Displaystyle \ Omega = \ prod _ {n \ in \ mathbb {N}} A_ {n}}$

dla ${\ Displaystyle A_ {n} = \ mathbb {Z} / m_ {n} \ mathbb {Z} = \ {0,1 \ kropki, m_ {n} -1 \}}$ z liczbą całkowitą ${\ Displaystyle m_ {n} \ geq 2} .$ Topologia produktu rozciąga się naturalnie na iloczyn Borel sigma-algebra ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ na ${\ displaystyle \ Omega}$ . Miara produktu na $\ mu _ {n}}$ konwencjonalnie definiowana jako . $B$$}}$ biorąc pod uwagę pewną miarę na ${\ Displaystyle \ mu _ {n}}$${\ displaystyle A_ {n}}$ . Odpowiednia mapa jest zdefiniowana przez

${\ Displaystyle T (x_ {1}, \ kropki, x_ {k}, x_ {k + 1}, x_ {k + 2}, \ kropki) = (0, \ kropki, 0, x_ {k} + 1 ,x_{k+1},x_{k+2},\kropki )}$

gdzie ${\ displaystyle k}$ jest najmniejszym indeksem, dla którego ${\ Displaystyle x_ {k} \ neq m_ {k} -1}$ . To znowu grupa topologiczna.

Szczególnym przypadkiem jest licznik Ornsteina , który jest zdefiniowany w przestrzeni

${\ Displaystyle \ Omega = \ lewo (\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ prawej) \ razy \left(\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \right)\times \left(\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \right)\times \cdots }$

miarą iloczynu

${\ Displaystyle \ mu _ {n} (j) = {\ rozpocząć {przypadki} 1/2 i {\ mbox { if }}j=0\\1/2(n+1)&{\mbox{ if }}j\neq 0\\\end{przypadki}}}$

Model piaskownicy

Koncepcją blisko spokrewnioną z konserwatywnym drogomierzem jest abelowy model piaskownicy . $wierzchołków$ grup skończonych skonstruowaną powyżej nieskierowanym wykresem i W każdym wierzchołku $Displaystyle \$ się skończoną grupę $n \ mathbb {Z}}$ z $\ Displaystyle n = stopień (v)}$ { stopień wierzchołka ${\ displaystyle v}$ . Funkcje przejścia są określone przez wykres Laplace'a . Oznacza to, że każdy wierzchołek można zwiększyć o jeden; podczas zwiększania największego elementu grupy (tak, aby zmniejszał się z powrotem do zera), każdy z sąsiednich wierzchołków jest zwiększany o jeden.

Modele Sandpile różnią się od powyższej definicji konserwatywnego licznika kilometrów na trzy różne sposoby. Po pierwsze, ogólnie rzecz biorąc, nie ma unikalnego wierzchołka wskazanego jako wierzchołek początkowy, podczas gdy powyżej pierwszy wierzchołek jest wierzchołkiem początkowym; jest to ten, który jest zwiększany przez funkcję przejścia. Następnie modele sandpile na ogół wykorzystują nieukierunkowane krawędzie, tak że owinięcie licznika kilometrów rozkłada się ponownie we wszystkich kierunkach. Trzecia różnica polega na tym, że modele piaskownicy zwykle nie są brane na nieskończonym grafie, a raczej wyróżnia się jeden specjalny wierzchołek, „zlew”, który pochłania wszystkie przyrosty i nigdy się nie zawija. Zlew jest równoznaczny z odcięciem nieskończonych części nieskończonego wykresu i zastąpieniem ich zlewem; alternatywnie, jako ignorowanie wszystkich zmian po tym punkcie końcowym.

Licznik Markowa

Niech $diagramem$ uporządkowanym $Displaystyle$ – Vershika , składa się ze wierzchołków postaci (rozłączny związek), gdzie ${\ Displaystyle V ^ {0}}$ jest singletonem i na zbiorze krawędzi ${\ Displaystyle \ textstyle \ coprod _ {n \ in \ mathbb {N}} E ^ {(n)}}$ (rozłączny związek).

Diagram zawiera źródłowe odwzorowania surjekcji i zakres ${\ Displaystyle s_ {n}: E ^ {(n)} \ do V ^ {(n-1)}}$ odwzorowania surjekcji ${\ Displaystyle r_ {n}: E ^ {(n)} \ do V ^ {(n)}}$ . Zakładamy, że ${\ Displaystyle e, e'\ in E ^ {(n)}}$ są porównywalne wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle r_ {n} (e) = r_ {n} (e')}$ ​​.

Dla takiego diagramu patrzymy na przestrzeń iloczynu mi ${\ Displaystyle \ textstyle E: = \ prod _ {n \ in \ mathbb {N}} E ^ {(n)}}$ wyposażone z topologią produktu . Zdefiniuj „Bratteli – Vershik compactum” jako podprzestrzeń nieskończonych ścieżek,

${\ Displaystyle X_ {B}: = \ lewo \{x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in E\mid x_{n}\in E^{(n)}{\text{ i }}r(x_{ n})=s(x_{n+1})\prawo\}}$

Załóżmy, że istnieje tylko jedna nieskończona ścieżka ${\ Displaystyle x_ {\ max} = (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ dla każdego ${ \ displaystyle x_ {n}}$ jest maksymalna i podobnie jedna nieskończona ścieżka ${\ displaystyle x_ {\ text {min}}}$ . Zdefiniuj „mapę Bratteli-Vershik” przez T $\ Displaystyle T_ {B}: X_ {B} \ do X_ {B}}$${\ Displaystyle T (x_ {\ max}) = x_ {\ min}}$ i dla każdego ${\ Displaystyle x = (x_ { n})_{n\in \mathbb {N} }\neq x_{\max }}$ zdefiniuj $)}$${\ Displaystyle T_ {B} (x_ {1}, \ kropki, x_ {k}, x_ {k + 1}, \ kropki) = (y_ { 1}, \ kropki, y_ {k},$$kropki$ , gdzie jest pierwszym indeksem, dla którego nie jest maksymalny i ${\ displaystyle x_ {k}}$ odpowiednio niech ${\ Displaystyle (y_ {1}, \ kropki, y_ {k})}$ być unikalną ścieżką, dla której $}$ są maksymalne, a następcą jest ${\ Displaystyle y_ {1}, \ kropki, y_ {k-1$ x $\ displaystyle x_ {k}}$ . Wtedy $\ displaystyle T_ {B}}$${\ displaystyle X_ {B}}$ jest homeomorfizmem X .

Niech ${\ Displaystyle P = \ lewo (P ^ {(1)}, P ^ {(2)}, \ kropki \ po prawej)$ } macierze stochastyczne ${\ Displaystyle P ^ {(n)} = \ lewo (p_ {(v, e) \ w V ^ {n-1} \ razy E ^ {(} n)} ^ {(n)} \ prawej)}$ p ${\ Displaystyle p_ {v, e} ^ {(n)}> 0}$${\ Displaystyle v = s_ {n} (e )}$ i tylko wtedy, gdy . Zdefiniuj „miarę cylindrach przez $mi$${\ Displaystyle \ mu _ {P} ([e_ {1}, \ kropki, e_{n}])=p_{s_{1}(e_{1}),e_{1}}^{(1)}\cdots p_{s_{n}(e_{n}),e_{n} }^{(n)}}$ . Wtedy układ $nazywa się „$ licznik Markowa”

$singletonami$ licznikiem Markowa, w którym wszystkie .

Zobacz też

• Abelowy model piaskownicy

Dalsza lektura

•   Aaronson, J. (1997). Wprowadzenie do nieskończonej teorii ergodycznej . Ankiety i monografie matematyczne. Tom. 50. Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . s. 25–32. ISBN 9781470412814 .
•    Dooley, Anthony H. (2003). „Odometry Markowa” . W Bezuglyi, Siergiej; Kolyada, Siergiej (red.). Zagadnienia z dynamiki i teorii ergodycznej. Artykuły przeglądowe i mini-kursy zaprezentowane na międzynarodowej konferencji i amerykańsko-ukraińskich warsztatach na temat układów dynamicznych i teorii ergodycznej, Katsiveli, Ukraina, 21–30 sierpnia 2000 r . Londyn. Matematyka soc. Wykład. Uwaga Ser. Tom. 310. Cambridge: Cambridge University Press . s. 60–80. ISBN 0-521-53365-1 . Zbl 1063.37005 .