Dowód Ostatniego Twierdzenia Fermata dla określonych wykładników

Ostatnie twierdzenie Fermata jest twierdzeniem z teorii liczb , pierwotnie sformułowanym przez Pierre'a de Fermata w 1637 r. i udowodnionym przez Andrew Wilesa w 1995 r. Stwierdzenie twierdzenia dotyczy wykładnika całkowitego n większego niż 2. W ciągu wieków następujących po wstępnym stwierdzeniu wyniku a przed jego ogólnym dowodem wymyślono różne dowody dla poszczególnych wartości wykładnika n . Poniżej opisano kilka z tych dowodów, w tym dowód Fermata w przypadku n = 4, co jest wczesnym przykładem metody nieskończonego zejścia .

Wstępy matematyczne

Ostatnie twierdzenie Fermata stwierdza, że ​​żadne trzy dodatnie liczby całkowite ( a , b , c ) nie mogą spełnić równania a n + b n = c n dla dowolnej wartości całkowitej n większej niż dwa. (Dla n równego 1 równanie jest równaniem liniowym i ma rozwiązanie dla każdego możliwego a , b . Dla n równego 2 równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, Trójki pitagorejskie .)

Czynniki wykładników

Rozwiązanie ( a , b , c ) dla danego n prowadzi do rozwiązania dla wszystkich czynników n : jeśli h jest współczynnikiem n to istnieje liczba całkowita g taka , że n = gh . Wtedy ( a g , b g , c g ) jest rozwiązaniem wykładnika h :

( za sol ) godz + ( b sol ) godz = ( do sol ) godz .

Zatem, aby udowodnić, że równanie Fermata nie ma rozwiązań dla n > 2, wystarczy wykazać, że nie ma ono rozwiązań dla n = 4 i dla wszystkich nieparzystych liczb pierwszych p .

Dla dowolnego takiego nieparzystego wykładnika p każde rozwiązanie równania a p + b p = c p odpowiada ogólnemu rozwiązaniu równania a p + b p + c p = 0. Na przykład, jeśli (3, 5, 8) rozwiązuje pierwsze równanie, następnie (3, 5, −8) rozwiązuje drugie. I odwrotnie, każde rozwiązanie drugiego równania odpowiada rozwiązaniu pierwszego. Drugie równanie jest czasami przydatne, ponieważ zapewnia symetrię między trzema zmiennymi a , b i c są bardziej widoczne.

Prymitywne rozwiązania

Jeśli dwie z trzech liczb ( a , b , c ) można podzielić przez czwartą liczbę d , wówczas wszystkie trzy liczby są podzielne przez d . Na przykład, jeśli a i c są podzielne przez d = 13, to b jest również podzielne przez 13. Wynika to z równania

b n = do n - za n

Jeśli prawa strona równania jest podzielna przez 13, to lewa strona również jest podzielna przez 13. Niech g oznacza największy wspólny dzielnik a , b i c . Wtedy ( a , b , c ) można zapisać jako a = gx , b = gy i c = gz gdzie trzy liczby ( x , y , z ) są parami względnie pierwsza . Innymi słowy, największy wspólny dzielnik (NWD) każdej pary wynosi jeden

NWD( x , y ) = NWD( x , z ) = NWD( y , z ) = 1

Jeżeli ( a , b , c ) jest rozwiązaniem równania Fermata, to takim rozwiązaniem jest ( x , y , z ), ponieważ równanie

za n + b n = do n = sol n x n + sol n y n = sol n z n

implikuje równanie

x n + y n = z n .

Rozwiązanie względnie pierwsze parami ( x , y , z ) nazywane jest rozwiązaniem pierwotnym . Ponieważ każde rozwiązanie równania Fermata można sprowadzić do rozwiązania pierwotnego, dzieląc przez ich największy wspólny dzielnik g , Ostatnie twierdzenie Fermata można udowodnić, wykazując, że nie istnieją rozwiązania pierwotne.

Parzyste i nieparzyste

Liczby całkowite można podzielić na parzyste i nieparzyste, te, które są równomiernie podzielne przez dwa i te, które nie są. Parzyste liczby całkowite to ...−4, −2, 0, 2, 4, podczas gdy nieparzyste liczby całkowite to −3, −1, 1, 3,… Właściwość tego, czy liczba całkowita jest parzysta (lub nie), to znany jako jego parytet . Jeśli dwie liczby są parzyste lub obie nieparzyste, mają tę samą parzystość. Natomiast jeśli jedno jest parzyste, a drugie nieparzyste, mają one różną parzystość.

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb całkowitych parzystych i nieparzystych podlega prostym zasadom. Dodanie lub odejmowanie dwóch liczb parzystych lub dwóch liczb nieparzystych zawsze daje liczbę parzystą, np. 4 + 6 = 10 i 3 + 5 = 8. I odwrotnie, dodanie lub odejmowanie liczby nieparzystej i parzystej jest zawsze nieparzyste, np. , 3 + 8 = 11. Mnożenie dwóch liczb nieparzystych jest zawsze nieparzyste, ale mnożenie liczby parzystej przez dowolną liczbę jest zawsze parzyste. Liczba nieparzysta podniesiona do potęgi jest zawsze nieparzysta, a liczba parzysta podniesiona do potęgi jest zawsze parzysta, więc na przykład x n ma tę samą parzystość co x .

Rozważ dowolne prymitywne rozwiązanie ( x , y , z ) równania x n + y n = z n . Wszystkie wyrazy w ( x , y , z ) nie mogą być parzyste, bo wtedy nie byłyby względnie pierwsze; wszystkie można podzielić przez dwa. Jeśli x n i y n są parzyste, z n będzie parzyste, więc co najmniej jedno z x n i y n są dziwne. Pozostały dodatek jest parzysty lub nieparzysty; zatem parytety wartości w sumie są albo (nieparzyste + parzyste = nieparzyste) lub (nieparzyste + nieparzyste = parzyste).

Faktoryzacja pierwsza

Podstawowe twierdzenie arytmetyki głosi, że dowolną liczbę naturalną można zapisać tylko w jeden sposób (jedynie) jako iloczyn liczb pierwszych. Na przykład 42 równa się iloczynowi liczb pierwszych 2×3×7 i żaden inny iloczyn liczb pierwszych nie jest równy 42, poza trywialnymi przekształceniami, takimi jak 7×3×2. Ta wyjątkowa właściwość faktoryzacji jest podstawą, na której zbudowana jest duża część teorii liczb .

Jedną z konsekwencji tej wyjątkowej właściwości faktoryzacji jest to, że jeśli p -ta potęga liczby jest równa iloczynowi takiemu jak

xp = UV _

i jeśli u i v są względnie pierwsze (nie mają wspólnych czynników pierwszych), to u i v same są p -tą potęgą dwóch innych liczb, u = r p i v = s p .

Jednakże, jak opisano poniżej, niektóre systemy liczbowe nie mają unikalnej faktoryzacji. Fakt ten doprowadził do niepowodzenia ogólnego dowodu Lamé z 1847 r. na Ostatnie Twierdzenie Fermata.

Dwa przypadki

Główny artykuł: twierdzenie Sophie Germain

Od czasów Sophie Germain Ostatnie Twierdzenie Fermata zostało podzielone na dwa przypadki, które dowodzi się oddzielnie. Pierwszy przypadek (przypadek I) ma na celu pokazanie, że nie ma rozwiązań pierwotnych ( x , y , z ) równania x p + y p = z p pod warunkiem, że p nie dzieli iloczynu xyz . Drugi przypadek (przypadek II) odpowiada warunkowi, że p dzieli iloczyn xyz . Ponieważ x , y i z są parami względnie pierwsze, p dzieli tylko jedną z trzech liczb.

n = 4

Portret Pierre'a de Fermata.

Zachował się tylko jeden dowód matematyczny Fermata, w którym Fermat wykorzystuje technikę nieskończonego opadania , aby pokazać, że pole trójkąta prostokątnego o bokach całkowitych nigdy nie może być równe kwadratowi liczby całkowitej. Wynik ten znany jest jako twierdzenie Fermata o trójkącie prostokątnym . Jak pokazano poniżej, jego dowód jest równoznaczny z wykazaniem, że równanie

x 4 - y 4 = z 2

nie ma rozwiązań pierwotnych w liczbach całkowitych (nie ma rozwiązań względnie pierwszych parami). To z kolei wystarczy do udowodnienia Ostatniego Twierdzenia Fermata dla przypadku n = 4, ponieważ równanie a 4 + b 4 = c 4 można zapisać jako c 4 - b 4 = ( a 2 ) 2 . Alternatywne dowody przypadku n = 4 opracowali później Frénicle de Bessy, Euler, Kausler, Barlow, Legendre, Schopis, Terquem, Bertrand, Lebesgue, Pepin, Tafelmacher, Hilbert, Bendz, Gambioli, Kronecker, Bang, Sommer, Bottari, Rychlik, Nutzhorn, Carmichael, Hancock, Vrǎnceanu, Grant i Perella, Barbara i Dolan. Jeden dowód nieskończonego pochodzenia można znaleźć w artykule Nieskończone zejście#Nierozwiązywalność r 2 + s 4 = t 4 .

Zastosowanie do trójkątów prostokątnych

Dowód Fermata pokazuje, że żaden trójkąt prostokątny o bokach całkowitych nie może mieć pola kwadratowego. Niech prawy trójkąt ma boki ( u , v , w ), gdzie pole wynosi uv / 2 i zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa u 2 + v 2 = w 2 . Gdyby pole było równe kwadratowi liczby całkowitej s

uv / 2 = s 2

wówczas poprzez manipulacje algebraiczne również by tak było

2 uv = 4 s 2 i -2 uv = -4 s 2 .

Dodanie u 2 + v 2 = w 2 do tych równań daje

u 2 + 2 uv + v 2 = w 2 + 4 s 2 i u 2 - 2 uv + v 2 = w 2 - 4 s 2 ,

co można wyrazić jako

( u + v ) 2 = w 2 + 4 s 2 i ( u - v ) 2 = w 2 - 4 s 2 .

Mnożenie tych równań razem daje wynik

( u 2 - v 2 ) 2 = w 4 - 2 4 s 4 .

Ale jak udowodnił Fermat, równanie nie może mieć rozwiązania całkowitego

x 4 - y 4 = z 2

z czego jest to przypadek szczególny z z = ( u 2 - v 2 ), x = w i y = 2 s .

Pierwszym krokiem dowodu Fermata jest uwzględnienie lewej strony

( x 2 + y 2 ) ( x 2 - y 2 ) = z 2

Ponieważ x i y są względnie pierwsze (można to założyć, ponieważ w przeciwnym razie czynniki mogłyby zostać anulowane), największym wspólnym dzielnikiem x 2 + y 2 i x 2 - y 2 jest albo 2 (przypadek A) albo 1 (przypadek B). Twierdzenie udowodniono oddzielnie dla tych dwóch przypadków.

Dowód dla przypadku A

W tym przypadku zarówno x , jak i y są nieparzyste, a z jest parzyste. Ponieważ ( y 2 , z , x 2 ) tworzą pierwotną trójkę pitagorejską, można je zapisać

z = 2 de
y 2 = re 2 - mi 2
x 2 = re 2 + mi 2

gdzie d i e są względnie pierwsze oraz d > e > 0. Zatem

x 2 y 2 = re 4 - mi 4

co daje inne rozwiązanie ( d , e , xy ), które jest mniejsze (0 < d < x ). Tak jak poprzednio, musi istnieć dolna granica wielkości rozwiązań, podczas gdy ten argument zawsze daje mniejsze rozwiązanie niż jakiekolwiek inne, a zatem oryginalne rozwiązanie jest niemożliwe.

Dowód dla przypadku B

W tym przypadku oba czynniki są względnie pierwsze. Ponieważ ich iloczyn jest kwadratem z 2 , każdy z nich musi być kwadratem

x 2 + y 2 = s 2
x 2 - y 2 = t 2

Liczby s i t są nieparzyste, ponieważ s 2 + t 2 = 2 x 2 , liczba parzysta, oraz ponieważ x i y nie mogą być jednocześnie parzyste. Dlatego suma i różnica s i t są również liczbami parzystymi, dlatego liczby całkowite u i v definiujemy jako

u = ( s + t )/2
v = ( s - t )/2

Ponieważ s i t są względnie pierwsze, także u i v ; tylko jeden z nich może być parzysty. Ponieważ y 2 = 2 uv , dokładnie jeden z nich jest parzysty. Dla ilustracji, bądźmy równi ; wówczas liczby można zapisać jako u =2 m 2 i v = k 2 . Ponieważ ( u , v , x ) tworzą prymitywną trójkę pitagorejską

( s 2 + t 2 )/2 = u 2 + v 2 = x 2

można je wyrazić w postaci mniejszych liczb całkowitych d i e, korzystając ze wzoru Euklidesa

u = 2 de
v = re 2 - mi 2
x = re 2 + mi 2

Ponieważ u = 2 m 2 = 2 de i ponieważ d i e są względnie pierwsze, same muszą być kwadratami, d = g 2 i e = h 2 . To daje równanie

v = re 2 - mi 2 = sol 4 - godz 4 = k 2

Rozwiązanie ( g , h , k ) jest innym rozwiązaniem pierwotnego równania, ale mniejszym (0 < g < d < x ). Zastosowanie tej samej procedury do ( g , h , k ) dałoby inne rozwiązanie, jeszcze mniejsze i tak dalej. Jest to jednak niemożliwe, ponieważ liczb naturalnych nie można zmniejszać w nieskończoność. Dlatego oryginalne rozwiązanie ( x , y , z ) było niemożliwe.

n = 3

Leonhard Euler – Jakob Emanuel Handmann .

Fermat przesłał listy, w których wspomniał o przypadku, w którym n = 3 w latach 1636, 1640 i 1657. Euler wysłał list do Goldbacha 4 sierpnia 1753 r., w którym twierdził, że posiada dowód na przypadek, w którym n = 3. Euler miał kompletny i czysty dowód elementarny w 1760 r. Przypadek n = 3 został udowodniony przez Eulera w 1770 r. Niezależne dowody opublikowało kilku innych matematyków, w tym Kausler, Legendre , Calzolari, Lamé, Tait , Günther , Gambioli, Krey, Rychlik , Stockhaus, Carmichael , van der Corput , Thue i Duarte.

Tablica chronologiczna dowodu n = 3
data wynik/dowód opublikowane/niepublikowane praca nazwa
1621 nic opublikowany Łacińska wersja Arytmetyki Diofantosa Bachet
około 1630 roku jedyny wynik nie publikowany notatka na marginesie w arytmetyce Fermata
1636, 1640, 1657 jedyny wynik opublikowany litery n = 3 Fermata
1670 jedyny wynik opublikowany notatka na marginesie w arytmetyce Syn Fermata, Samuel, opublikował Arithmetica z notatką Fermata.
4 sierpnia 1753 jedyny wynik opublikowany list do Goldbacha Eulera
1760 dowód nie publikowany kompletny i czysty dowód elementarny Eulera
1770 dowód opublikowany niekompletny, ale elegancki dowód w Elementach algebry Eulera

Podobnie jak Fermat dla przypadku n = 4, Euler zastosował technikę nieskończonego opadania . Dowód zakłada rozwiązanie ( x , y , z ) równania x 3 + y 3 + z 3 = 0, gdzie trzy niezerowe liczby całkowite x , y i z są parami względnie pierwsze i nie wszystkie są dodatnie. Jeden z trzech musi być parzysty, podczas gdy pozostałe dwa są nieparzyste. Bez utraty ogólności można założyć, że z jest parzyste.

Ponieważ x i y są nieparzyste, nie mogą być równe. Jeśli x = y , to 2 x 3 = − z 3 , co oznacza, że ​​x jest parzyste, co jest sprzecznością.

Ponieważ x i y są nieparzyste, ich suma i różnica są liczbami parzystymi

2 u = x + y
2 v = x - y

gdzie niezerowe liczby całkowite u i v są względnie pierwsze i mają różną parzystość (jedna jest parzysta, druga nieparzysta). Ponieważ x = u + v i y = u - v , wynika z tego

− z 3 = ( u + v ) 3 + ( u - v ) 3 = 2 u ( u 2 + 3 v 2 )

Ponieważ u i v mają przeciwną parzystość, u 2 + 3 v 2 jest zawsze liczbą nieparzystą. Zatem, ponieważ z jest parzyste, u jest parzyste, a v jest nieparzyste. Ponieważ u i v są względnie pierwsze, największym wspólnym dzielnikiem 2 u i u 2 + 3 v 2 jest albo 1 (przypadek A) albo 3 (przypadek B).

Dowód dla przypadku A

W tym przypadku dwa czynniki - z 3 są względnie pierwsze. Oznacza to, że trzy nie dzieli u i że oba czynniki są sześcianami dwóch mniejszych liczb, r i s

2 u = r 3
u 2 + 3 v 2 = s 3

Ponieważ u 2 + 3 v 2 jest nieparzyste, podobnie jest z s . Kluczowy lemat pokazuje, że jeśli s jest nieparzyste i spełnia równanie s 3 = u 2 + 3 v 2 , to można je zapisać w postaci dwóch liczb całkowitych e i f

s = mi 2 + 3 fa 2

aby

u = mi ( mi 2 - 9 fa 2 )
v = 3 fa ( mi 2 - fa 2 )

u i v są względnie pierwsze, więc e i f też muszą być względnie pierwsze. Ponieważ u jest parzyste i v nieparzyste, e jest parzyste, a f jest nieparzyste. Od

r 3 = 2 u = 2 mi ( mi - 3 fa ) ( mi + 3 fa )

Czynniki 2 e , ( e –3 f ) i ( e +3 f ) są względnie pierwsze, ponieważ 3 nie może dzielić e : Jeśli e byłoby podzielne przez 3, to 3 podzieliłoby u , naruszając oznaczenie u i v jako względnie pierwsze. Ponieważ trzy czynniki po prawej stronie są względnie pierwsze, muszą one indywidualnie być równe sześcianom mniejszych liczb całkowitych

−2 mi = k 3
mi − 3 fa = l 3
mi + 3 fa = m 3

co daje mniejsze rozwiązanie k 3 + l 3 + m 3 = 0. Zatem na mocy argumentu nieskończonego pochodzenia pierwotne rozwiązanie ( x , y , z ) było niemożliwe.

Dowód dla przypadku B

W tym przypadku największym wspólnym dzielnikiem 2 u i u 2 + 3 v 2 jest 3. Oznacza to, że 3 dzieli u i można wyrazić u = 3 w w postaci mniejszej liczby całkowitej w . Ponieważ u jest podzielne przez 4, także w ; stąd w jest również parzyste. Ponieważ u i v są względnie pierwsze, v i w również . Dlatego ani 3, ani 4 nie dzielą v .

Podstawienie u przez w w równaniu z 3 daje wynik

− z 3 = 6 w (9 w 2 + 3 v 2 ) = 18 w (3 w 2 + v 2 )

Ponieważ v i w są względnie pierwsze i ponieważ 3 nie dzieli v , to 18 w i 3 w 2 + v 2 również są względnie pierwsze. Dlatego też, ponieważ ich iloczyn jest sześcianem, każdy z nich jest sześcianem mniejszych liczb całkowitych r i s

18 w = r 3
3 w 2 + v 2 = s 3

Na podstawie powyższego lematu, ponieważ s jest nieparzyste, a jego sześcian jest równy liczbie w postaci 3 w 2 + v 2 , to również można wyrazić w postaci mniejszych liczb względnie pierwszych, e i f .

s = mi 2 + 3 fa 2

Pokazuje to krótka kalkulacja

v = mi ( mi 2 - 9 fa 2 )
w = 3 fa ( mi 2 - fa 2 )

Zatem e jest nieparzyste, a f jest parzyste, ponieważ v jest nieparzyste. Wyrażenie dla 18 w ma wówczas postać

r 3 = 18 w = 54 fa ( mi 2 - fa 2 ) = 54 fa ( mi + fa ) ( mi - fa ) = 3 3 ×2 fa ( mi + fa ) ( mi - fa ).

Ponieważ 3 3 dzieli r 3, mamy, że 3 dzieli r , więc ( r /3) 3 jest liczbą całkowitą równą 2 f ( e + f ) ( e - f ). Ponieważ e i f są względnie pierwsze, tak samo jest z trzema czynnikami 2 f , e + f i e - f ; dlatego każdy z nich jest sześcianem mniejszych liczb całkowitych k , l i m .

−2 fa = k 3
mi + fa = l 3
fa − mi = m 3

co daje mniejsze rozwiązanie k 3 + l 3 + m 3 = 0. Zatem na mocy argumentu nieskończonego pochodzenia pierwotne rozwiązanie ( x , y , z ) było niemożliwe.

n = 5

Portret Petera Gustava Lejeune Dirichleta .
Karykatura Adriena-Marie Legendre (jedyny zachowany jego portret).

Ostatnie twierdzenie Fermata dla n = 5 stwierdza, że ​​żadne trzy liczby całkowite względnie pierwsze x , y i z nie spełniają równania

x 5 + y 5 + z 5 = 0

Nie zostało to udowodnione niezależnie ani wspólnie przez Dirichleta i Legendre'a około 1825 roku. Alternatywne dowody opracowali Gauss , Lebesgue , Lamé , Gambioli, Werebrusow, Rychlik , van der Corput i Terjanian .

Dowód Dirichleta dla n = 5 dzieli się na dwa przypadki (przypadki I i II) zdefiniowane przez Sophie Germain . W przypadku I wykładnik 5 nie dzieli iloczynu xyz . W przypadku II 5 dzieli xyz .

  1. Przypadek I dla n = 5 można natychmiast udowodnić za pomocą twierdzenia Sophie Germain (1823), jeśli pomocnicza liczba pierwsza θ = 11.
  2. Przypadek II został podzielony na dwa przypadki (przypadki II(i) i II(ii)) przez Dirichleta w 1825 r. Przypadek II(i) to przypadek, w którym jeden z x, y, z jest dzielony przez 5 lub 2. Przypadek II II(ii) to przypadek, w którym jeden z x, y, z jest dzielony przez 5, a drugi z x, y, z jest dzielony przez 2. W lipcu 1825 Dirichlet udowodnił przypadek II(i) dla n = 5 . We wrześniu 1825 roku Legendre udowodnił przypadek II(ii) dla n = 5. Po dowodzie Legendre'a Dirichlet zakończył dowód przypadku II(ii) dla n = 5 rozszerzonym argumentem dla przypadku II(i).
Tablica chronologiczna dowodu n = 5
data przypadek I/II przypadek II(i/ii) nazwa
1823 przypadek I Zofia Germain
Lipiec 1825 przypadek II przypadek II(i) Dirichleta
Wrzesień 1825 przypadek II(ii) Legendre
po wrześniu 1825 r Dirichleta

Dowód dla przypadku A

Przypadek A dla n = 5 można natychmiast udowodnić za pomocą twierdzenia Sophie Germain, jeśli pomocnicza liczba pierwsza θ = 11. Bardziej metodyczny dowód jest następujący. Z twierdzenia Fermata

x 5 ≡ x (mod 5)
y 5 ≡ y (mod 5)
z 5 ≡ z (mod 5)

i dlatego

x + y + z ≡ 0 (mod 5)

To równanie wymusza, aby dwie z trzech liczb x , y i z były równoważne modulo 5, co można zobaczyć w następujący sposób: Ponieważ są niepodzielne przez 5, x , y i z nie mogą być równe 0 modulo 5 i muszą być równe jednemu z: cztery możliwości: ±1 lub ±2. Gdyby wszystkie były różne, dwa byłyby przeciwieństwami, a ich suma modulo 5 wynosiłaby zero (co oznacza wbrew założeniu w tym przypadku, że druga liczba wynosiłaby 0 modulo 5).

Bez utraty ogólności, x i y można oznaczyć jako dwie równoważne liczby modulo 5. Z tej równoważności wynika, że

x 5 ≡ y 5 (mod 25) (zauważ zmianę modulo)
- z 5 ≡ x 5 + y 5 ≡ 2 x 5 (mod 25)

Jednakże równanie x ≡ y (mod 5) również to sugeruje

− z ≡ x + y ≡ 2 x (mod 5)
− z 5 ≡ 2 5 x 5 ≡ 32 x 5 (mod 25)

Połączenie obu wyników i podzielenie obu stron przez x 5 daje sprzeczność

2 ≡ 32 (mod 25)

Udowodniono zatem przypadek A dla n = 5.

Dowód dla przypadku B

n = 7

Przypadek n = 7 udowodnił Gabriel Lamé w 1839 r. Jego dość skomplikowany dowód został uproszczony w 1840 r. przez Victor-Amédée Lebesgue , a jeszcze prostsze dowody opublikował Angelo Genocchi w 1864, 1874 i 1876 r. Alternatywne dowody opracował Théophile Pépin i Edmonda Mailleta.

n = 6, 10 i 14

Ostatnie twierdzenie Fermata zostało również udowodnione dla wykładników n = 6, 10 i 14. Dowody dla n = 6 zostały opublikowane przez Kauslera, Thue , Tafelmachera, Linda, Kapferera, Swifta i Breuscha. Podobnie Dirichlet i Terjanian udowodnili przypadek n = 14, natomiast Kapferer i Breusch udowodnili przypadek n = 10. Ściśle rzecz biorąc, dowody te są niepotrzebne, ponieważ te przypadki wynikają z dowodów dla n = odpowiednio 3, 5 i 7. Niemniej jednak rozumowanie tych dowodów o wykładniku parzystym różni się od ich odpowiedników o wykładniku nieparzystym. Dowód Dirichleta na n = 14 został opublikowany w 1832 r., przed dowodem Lamégo z 1839 r. na n = 7.

Notatki

Dalsza lektura

Linki zewnętrzne

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Proof_of_Fermat%27s_Last_Theorem_for_specific_exponents&oldid=1134489994 ”