Dowolnie duży

W matematyce wyrażenia arbitralnie duże , arbitralnie małe i arbitralnie długie są używane w stwierdzeniach, aby wyjaśnić fakt, że obiekt jest odpowiednio duży, mały i długi z niewielkimi ograniczeniami lub ograniczeniami. Użycie „arbitralnie” często pojawia się w kontekście liczb rzeczywistych (i ich podzbiorów ), chociaż jego znaczenie może różnić się od znaczenia „wystarczająco” i „nieskończenie”.

Przykłady

Twierdzenie

„ ${\ displaystyle f (x)}$ nie jest ujemne dla dowolnie dużego ${\ displaystyle x}$ ”.

jest skrótem dla:

„Dla każdej liczby rzeczywistej $nieujemna$$dla$ pewnej $\$ większej $n$ { ”

W potocznym języku termin „dowolna długość” jest często używany w kontekście sekwencji liczb. Na przykład stwierdzenie, że istnieją „dowolne ciągi arytmetyczne liczb pierwszych ” nie oznacza, że ​​istnieje jakiś nieskończenie długi ciąg arytmetyczny liczb pierwszych (nie ma), ani że istnieje jakiś szczególny ciąg arytmetyczny liczb pierwszych, który jest w pewnym sensie „arbitralnie długi”. Wyrażenie to jest raczej używane w odniesieniu do faktu, że bez względu na to, jak duża jest liczba $,$ pewien ciąg arytmetyczny liczb pierwszych o długości co najmniej ${\ displaystyle n}$ .

Podobnie jak w przypadku dowolnie dużych liczb rzeczywistych, można również zdefiniować wyrażenie „ obowiązuje dla dowolnie małych liczb rzeczywistych” w następujący sposób: ${\ Displaystyle P (x)}$

${\ Displaystyle \ forall \ epsilon \ in \ mathbb {R} _ {+} \, \ istnieje x \ in \ mathbb {R}: | x | <\ epsilon \ ziemia P (x )}$

Innymi słowy:

$jest$$​​się$ będzie liczba mniejsza od , taka, że utrzyma

Arbitralnie duży vs. wystarczająco duży vs. nieskończenie duży

Chociaż podobne, „dowolnie duże” nie jest równoważne z „ wystarczająco duże ”. Na przykład, chociaż prawdą jest, że liczby pierwsze mogą być dowolnie duże (ponieważ jest ich nieskończenie wiele z powodu twierdzenia Euklidesa ), nie jest prawdą, że wszystkie dostatecznie duże liczby są pierwsze.

Jako inny przykład, stwierdzenie „ nie $x$ ujemne dla dowolnie dużego $\ displaystyle$ ” można przepisać jako:

${\ Displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {R} {\ mbox {}} \ istnieje x \ in \ mathbb {R} {\mbox{ takie, że }}x>n\land f(x)\geq 0}$

Jednak używając słowa „ wystarczająco duży ”, ta sama fraza staje się:

${\ Displaystyle \ istnieje n \ w \ mathbb {R} {\ mbox {tak, że}} \ forall x \ w \ mathbb {R } {\mbox{, }}x>n\Strzałka w prawo f(x)\geq 0}$

Co więcej, „arbitralnie duży” również nie oznacza „ nieskończenie duży ”. Na przykład, chociaż liczby pierwsze mogą być dowolnie duże, nieskończenie duża liczba pierwsza nie istnieje — ponieważ wszystkie liczby pierwsze (jak również wszystkie inne liczby całkowite) są skończone.

W niektórych przypadkach wyrażenia takie jak „twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnie dużych $)$$są$ używane głównie w celu podkreślenia, jak w „ $Displaystyle P ($ jest prawdziwe dla wszystkich $}$ bez względu na to, jak duże jest ${\ displaystyle x$ . W takich przypadkach wyrażenie „dowolnie $powyżej (tj. „$ duża liczba, będzie jakaś większa liczba, dla której nadal obowiązuje ). Zamiast tego użycie w tym przypadku jest w rzeczywistości logicznie synonimem „wszystkich”.

Zobacz też

• Wystarczająco duży
• Żargon matematyczny