Drgania membrany kołowej

Jeden z możliwych trybów wibracji wyidealizowanej okrągłej $zapisem$ bębna (tryb z poniżej) Inne możliwe tryby są pokazane na dole artykułu.

Dwuwymiarowa elastyczna membrana pod napięciem może przenosić drgania poprzeczne . Właściwości wyidealizowanego naciągu perkusyjnego można modelować za pomocą drgań okrągłej membrany o jednakowej grubości, przymocowanej do sztywnej ramy. Ze względu na zjawisko rezonansu , przy pewnych częstotliwościach drgań , jego częstotliwościach rezonansowych , membrana może magazynować energię wibracyjną, a jej powierzchnia porusza się w charakterystyczny wzór fal stojących . Nazywa się to trybem normalnym . Membrana ma nieskończoną liczbę tych modów normalnych, zaczynając od trybu o najniższej częstotliwości, zwanego trybem podstawowym .

Istnieje nieskończenie wiele sposobów, w jakie membrana może wibrować, z których każdy zależy od kształtu membrany w pewnym początkowym czasie i prędkości poprzecznej każdego punktu na membranie w tym czasie. Drgania membrany są podane przez rozwiązania dwuwymiarowego równania falowego z warunkami brzegowymi Dirichleta , które reprezentują ograniczenie ramy. Można wykazać, że dowolne dowolnie złożone drgania membrany można rozłożyć na możliwie nieskończoną serię trybów normalnych membrany. Jest to analogiczne do rozkładu sygnału czasu na a szereg Fouriera .

Badanie wibracji bębnów doprowadziło matematyków do postawienia słynnego problemu matematycznego dotyczącego tego, czy można usłyszeć kształt bębna , a odpowiedź została udzielona w 1992 roku w układzie dwuwymiarowym.

Motywacja

Analiza problemu wibrującej głowicy bębna wyjaśnia instrumenty perkusyjne, takie jak bębny i kotły . Istnieje jednak również biologiczne zastosowanie w pracy błony bębenkowej . Z edukacyjnego punktu widzenia mody obiektu dwuwymiarowego są wygodnym sposobem wizualnego zademonstrowania znaczenia modów, węzłów, antywęzłów, a nawet liczb kwantowych . Pojęcia te są ważne dla zrozumienia struktury atomu.

Problem

Rozważmy $wyśrodkowanym$ dysk $.$ promieniu na początku, który będzie reprezentował „nieruchomy” kształt główki bębna W dowolnym momencie $($ w punkcie mierzona od ${\ Displaystyle$ bębna $x, y)}$ kształt głowy będzie oznaczony przez ${\ Displaystyle u (x, y, t)},$ które mogą przyjmować zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne. Niech ${\ Displaystyle \ częściowy \ Omega}$ oznacza granicę Ω $Displaystyle \ Omega},$$\$ to znaczy okrąg o promieniu który reprezentuje sztywną ramę, do której dołączona jest głowica bębna.

Równanie matematyczne rządzące drganiami głowicy bębna to równanie falowe z zerowymi warunkami brzegowymi,

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2} u} {\ częściowe t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\częściowe ^{2}u}{\częściowe x^{2}}}+{\frac {\częściowe ^{2}u }{\częściowe y^{2}}}\right){\text{ for }}(x,y)\in \Omega \,}$

${\ Displaystyle u = 0 {\ tekst {na}} \ częściowy \ Omega. \,}$

${\ Displaystyle (r, \ theta, z).}$ względu na kołową geometrię $wygodnie$ będzie użyć cylindrycznych ( Następnie powyższe równania są zapisywane jako

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2} u} {\ częściowe t ^ {2}}} = c ^ {2} \ lewo ({\ Frac {\ częściowe ^ {2} u} {\ częściowe r ^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\częściowe u}{\częściowe r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac { \partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}\right){\text{ for }}0\leq r<a,0\leq \theta \leq 2\pi \,}$

${\ Displaystyle u = 0 {\ tekst {dla}} r = a. \,}$

Tutaj jest $dodatnią$ stałą, która podaje prędkość, z jaką poprzeczne fale drgań rozchodzą się w membranie Pod względem parametrów fizycznych prędkość fali c jest określona wzorem

${\ Displaystyle c = {\ sqrt {\ Frac {N_ {rr} ^ {*}} {\ rho h}}}}$

gdzie ${\ Displaystyle N_ {rr} ^ {*}}$ , jest promieniową membraną wypadkową na granicy membrany ( ${\ displaystyle r = a}$ ), ${\ displaystyle h}$ , jest membraną $gęstość$ , a to membrany. Jeśli membrana ma równomierne napięcie, można zapisać równomierną siłę rozciągającą przy danym promieniu ${\ displaystyle r}$

${\ Displaystyle F = rN_ {rr} ^ {r} = rN _ {\ teta \ teta} ^ {r}}$

gdzie ${\ Displaystyle N _ {\ theta \ theta} ^ {r} = N_ {rr} ^ {r}}$ jest wypadkową membrany w kierunku azymutalnym.

Przypadek osiowosymetryczny

Najpierw zbadamy możliwe tryby drgań okrągłej głowicy bębna, które są osiowosymetryczne . Wtedy funkcja nie zależy od kąta $displaystyle u}$ równanie falowe upraszcza się do u ${$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2} u} {\ częściowe t ^ {2}}} = c ^ {2} \ lewo ({\ Frac {\ częściowe ^ {2} u} {\ częściowe r ^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\częściowy u}{\częściowy r}}\prawo).}$

Będziemy szukać rozwiązań w zmiennych rozdzielonych, ${\ Displaystyle u (r, t) = R (r) T (t).}$ Podstawiając to w powyższym równaniu i dzieląc obie strony przez ${\ Displaystyle c ^ {2} R (r)T(t)}$ daje

${\ Displaystyle {\ Frac {T'' (t)}} {c ^ {2} T (t)}} = {\ Frac {1} {R (r)}} \ lewo (R'' (r) + {\frac {1}{r}}R'(r)\right).}$

Lewa strona tej równości nie zależy od $stałej$${\ Displaystyle K.}$ strona nie zależy od $wynika$ z tego, że obie strony muszą być równe jakiejś Otrzymujemy oddzielne równania dla ${\ Displaystyle T (t)}$ i ${\ Displaystyle R (r)}$ :

${\ Displaystyle T'' (t) = Kc ^ {2} T (t) \,}$

${\ Displaystyle rR '' (r) + R' (r) -KrR (r) = 0. \,}$

Równanie dla $i są T ( t )$ rozwiązania, które wykładniczo rosną lub zanikają dla są liniowe lub stałe dla ${\ Displaystyle K> 0}$$t)$ T okresowo dla ${\ displaystyle K <0}$ . Fizycznie oczekuje się, że rozwiązanie problemu wibrującej głowicy bębna będzie oscylacyjne w czasie, a to pozostawia tylko trzeci przypadek, ${\ displaystyle K <0,}$ dla wygody wybieramy ${\ Displaystyle K = - \ lambda ^ {2}} .$ Wtedy ${\ Displaystyle T (t)}$ jest liniową kombinacją funkcji sinus i cosinus, T ( t ) {\ Displaystyle T (t)}

${\ Displaystyle T (t) = A \ cos c \ lambda t + B \ sin c \ lambda t. \,}$

Przechodząc do równania dla ${\ Displaystyle R (r)}$ z obserwacją, że wszystkie rozwiązania tego drugiego rzędu ${\ Displaystyle K = - \ lambda ^ {2}}$ równania różniczkowe są liniową kombinacją funkcji Bessela rzędu 0, ponieważ jest to szczególny przypadek równania różniczkowego Bessela :

${\ Displaystyle R (r) = c_ {1} J_ {0} (\ lambda r) + c_ {2} Y_ {0} (\ lambda r). \,}$

Funkcja Bessela $displaystyle$ nieograniczona dla $r \ do 0,}$ , co skutkuje niefizycznym rozwiązaniem problemu wibrującej głowicy bębna, więc stała do $\ displaystyle c_ { 2}}$ musi być puste. Przyjmiemy również do ${\ displaystyle c_ {1} = 1},$ w przeciwnym razie stała ta może zostać później wchłonięta do stałych i za {\ displaystyle $}$ i ${\ displaystyle B}$ pochodzące z ${\ Displaystyle T (t).}$ Wynika z tego

${\ Displaystyle R (r) = J_ {0} (\ lambda r).}$

Wymóg, aby wysokość $zero,$ skutkuje warunkiem

${\ Displaystyle R (a) = J_ {0} (\ lambda a) = 0.}$

Funkcja Bessela ${\ displaystyle J_ {0}}$ nieskończoną liczbę dodatnich pierwiastków, jot

${\ Displaystyle 0 <\ alpha _ {01}<\ alpha _ {02}<\ cdots}$

Otrzymujemy to $}$ n $Displaystyle n = 1,2, \ kropki,$ więc λ za

${\ Displaystyle R (r) = J_ {0} \ lewo ({\ Frac {\ alfa _ {0n}} {a}} r \ prawo).}$

Dlatego osiowosymetryczne rozwiązania problemu wibrującej głowicy bębna, które można przedstawić w oddzielnych zmiennych, są ${\ displaystyle u}$

${\ Displaystyle u_ {0n} (r, t)=\left(A\cos c\lambda _{0n}t+B\sin c\lambda _{0n}t\right)J_{0}\left(\lambda _{0n}r\right){ \text{ dla }}n=1,2,\kropki ,\,}$

gdzie ${\ Displaystyle \ lambda _ {0n} = \ alfa _ {0n}/a.}$

Sprawa ogólna

Ogólny przypadek, w którym $może$$zależeć$ od kąta traktowany podobnie. Zakładamy rozwiązanie w oddzielnych zmiennych,

${\ Displaystyle u (r, \ teta, t) = R (r) \ teta (\ teta) T (t). \,}$

Podstawiając to do równania falowego i rozdzielając zmienne, otrzymujemy

${\ Displaystyle {\ Frac {T'' (t)}} {c ^ {2} T (t)}} = {\ Frac {R'' (r)} {R (r)}} + {\ Frac { R'(r)}{rR(r)}}+{\frac {\Theta ''(\theta)}{r^{2}\Theta (\theta)}}=K}$

gdzie $stałą$ . Tak jak poprzednio $) {\ Displaystyle T (t)}$ z równania dla ${\ Displaystyle T (t)}$ wynika, że T ${\ Displaystyle \ lambda > 0 }$ i

${\ Displaystyle T (t) = A \ cos c \ lambda t + B \ sin c \ lambda t. \,}$

Z równania

${\ Displaystyle {\ Frac {R'' (r)} {R(r)}}+{\frac {R'(r)}{rR(r)}}+{\frac {\Theta ''(\theta )}{r^{2}\Theta (\theta )}}=-\lambda ^{2}}$

otrzymujemy, mnożąc obie strony przez i rozdzielając zmienne, że ${\ displaystyle r ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ lambda ^ {2} r ^ {2} + {\ Frac {r ^ {2}R''(r)}{R(r)}}+{\frac {rR'(r)}{R(r)}}=L}$

I

${\ Displaystyle - {\ Frac {\ Theta '' (\ teta)} {\ Theta (\ teta)}} = L,}$

dla pewnej stałej ${\ Displaystyle L.}$ Ponieważ jest $θ$ , z okresem $\ Displaystyle 2 \ pi,}$$\ theta}$ zmienną kątową, to wynika z tego

${\ Displaystyle \ Theta (\ teta) = C \ sałata m \ teta + D \ grzech m \ teta, \,}$

gdzie $= 0,1, \ kropki}$$i$ i są pewnymi $.$ Oznacza to również, ${\ Displaystyle L = m ^ {2}.}$

Wracając $rozwiązaniem$$jest$${\ Displaystyle Y_ {m}.}$ liniowa funkcji i Z podobnym argumentem jak w poprzedniej sekcji dochodzimy do

${\ Displaystyle R (r) = J_ {m} (\ lambda _ {mn} r), \,}$${\ Displaystyle m = 0,1, \ kropki,}$${\ Displaystyle n = 1,2, \ kropki,}$

gdzie ${\ Displaystyle \ lambda _ {mn} = \ alfa _ {mn} / a}$${\ Displaystyle n}$ α $\ Displaystyle \ alfa _ {mn}}$ n -ty dodatni pierwiastek z ${\ Displaystyle J_ {m.}.}$

Pokazaliśmy, że wszystkie rozwiązania problemu drgającej głowicy bębna w zmiennych rozdzielonych mają postać

${\ Displaystyle u_ {mn} (r, \ theta, t) = \ lewo (A \ cos c \ lambda _ {mn} t + B \ sin c \ lambda _ {mn} t \ prawo) J_ {m} \ left(\lambda _{mn}r\right)(C\cos m\theta +D\sin m\theta )}$

dla ${\ Displaystyle m = 0,1, \ kropki, n = 1,2, \ kropki}$

Animacje kilku trybów wibracji

Poniżej pokazano kilka modów wraz z ich liczbami kwantowymi. Wskazano również analogiczne funkcje falowe atomu wodoru, a także związane z nimi częstotliwości kątowe $\ Displaystyle \ omega _ {mn} = \ lambda _{mn}c={\dfrac {\alpha _{mn}}{a}}c=\alpha _{mn}c/a}$ . Wartości ${\ Displaystyle \ alpha _ {mn}}$ są pierwiastkami funkcji Bessela ${\ displaystyle J_ {m}}$ . Wynika to z warunku brzegowego ${\ Displaystyle \ forall \ theta \ in [0,2 \ pi], \ dla wszystkich t,\ u_{mn}(r=a,\theta ,t)=0}$ co daje ${\ Displaystyle J_ {m} (\ lambda _ {mn} a) = J_ {m} (\ alfa _ {mn}) = 0}$ .

• 

  Tryb ${\ Displaystyle u_ {01}}$ (1s) z ${\ Displaystyle \ alpha _ {01} = 2,40483}$

• 

  Tryb ${\ Displaystyle u_ {02}}$ (2 s) z ${\ Displaystyle \ alpha _ {02} = 5,52008}$

• 

  Tryb ${\ Displaystyle u_ {03}}$ (3 s) z ${\ Displaystyle \ alpha _ {03} = 8,65373}$

• 

  tryb ${\ Displaystyle u_ {11}}$ (2 p) z ${\ Displaystyle \ alpha _ {11} = 3,83171}$

• 

  tryb ${\ Displaystyle u_ {12}}$ (3 p) z ${\ Displaystyle \ alpha _ {12} = 7,01559}$

• 

  Tryb U12 (3p) V2

• 

  tryb ${\ Displaystyle u_ {13}}$ (4 p) z ${\ Displaystyle \ alpha _ {13} = 10,1735}$

• 

  Tryb ${\ Displaystyle u_ {21}}$ (3d) z ${\ Displaystyle \ alpha _ {21} = 5,13562}$

• 

  tryb ${\ Displaystyle u_ {22}}$ (4d) z ${\ Displaystyle \ alpha _ {22} = 8,41724}$

• 

  tryb ${\ Displaystyle u_ {23}}$ (5d) z ${\ Displaystyle \ alpha _ {23} = 11,6198}$

Więcej wartości można łatwo obliczyć za pomocą następującego kodu Pythona z biblioteką scipy : ${\ displaystyle \ alpha _ {mn}}$

     
  0 
   
     from  scipy  import  special  as  sc  m  =  # rząd funkcji Bessela (tj. tryb kątowy dla okrągłej membrany)  nz  =  3  # żądana liczba pierwiastków  alpha_mn  =  sc  .  jn_zeros  (  m  ,  nz  )  # wyprowadza nz zer Jm 

Zobacz też

• Struna wibracyjna , obudowa jednowymiarowa
• Wzory Chladniego , wczesny opis zjawiska pokrewnego, w szczególności z instrumentami muzycznymi; zobacz także cymatyka
• Słyszenie kształtu bębna , charakterystyka trybów ze względu na kształt membrany
• Orbital atomowy , pokrewny problem mechaniki kwantowej i trójwymiarowości

•   H. Asmar, Nakhle (2005). Równania różniczkowe cząstkowe z szeregami Fouriera i zagadnienia brzegowe . Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall. P. 198. ISBN 0-13-148096-0 .