Dychotomia wykładnicza

W matematycznej teorii układów dynamicznych dychotomia wykładnicza jest właściwością punktu równowagi , która rozszerza ideę hiperboliczności na układy nieautonomiczne .

Definicja

Jeśli

${\ Displaystyle {\ kropka {\ mathbf {x}}} = A (t) \ mathbf {x}}$

0 jest liniowym nieautonomicznym układem dynamicznym w R ⁿ z podstawową macierzą rozwiązań Φ( t ), Φ(0) = I , to mówi się, że punkt równowagi ma dychotomię wykładniczą , jeśli istnieje (stała) macierz P taka, że ​​P ² = P i dodatnie stałe K , L , α i β takie, że

${\ Displaystyle ||\ Phi (t) P \ Phi ^ {- 1} (s) ||\ równoważnik Ke ^ {- \ alfa (ts) }{\mbox{ dla }}s\równoważnik t<\infty}$

I

${\ Displaystyle ||\ Phi (t) (IP) \ Phi ^ {-1} (s) ||\ równoważnik Le ^ {- \ beta (st)}} {\ mbox {dla}} s \ geq t> - \infty .}$

0 Jeśli ponadto L = 1/ K i β = α, to mówi się, że mają jednolitą dychotomię wykładniczą .

Stałe α i β pozwalają nam zdefiniować okno widmowe punktu równowagi (−α, β).

Wyjaśnienie

Macierz P jest rzutem na podprzestrzeń stabilną, a I − P jest rzutem na podprzestrzeń niestabilną. Dychotomia wykładnicza mówi, że norma rzutu na stabilną podprzestrzeń dowolnej orbity w układzie zanika wykładniczo jako t → ∞, a norma rzutu na niestabilną podprzestrzeń dowolnej orbity zanika wykładniczo jako t → −∞, oraz ponadto stabilne i niestabilne podprzestrzenie są sprzężone (ponieważ ${\ Displaystyle \ scriptstyle P \ oplus (IP) = \ mathbb {R} ^ {n}} )$ .

Punkt równowagi z dychotomią wykładniczą ma wiele właściwości hiperbolicznego punktu równowagi w układach autonomicznych . W rzeczywistości można wykazać, że punkt hiperboliczny ma dychotomię wykładniczą.

•   Coppel, WA Dychotomie w teorii stabilności , Springer-Verlag (1978), ISBN 978-3-540-08536-2 doi : 10.1007/BFb0067780