Dyskretne wielomiany q -hermite'a

W matematyce dyskretne wielomiany q -Hermite'a to dwie blisko spokrewnione rodziny hn ( x ; q ) i ĥn ( x ; q ) podstawowych hipergeometrycznych wielomianów ortogonalnych w podstawowym schemacie Askeya , _{wprowadzonym przez Al -} Salama i Carlitza ( 1965 ) . Roelof Koekoek, Peter A. Lesky i René F. Swarttouw ( 2010 , 14) podają szczegółową listę swoich właściwości. h _n ( x ; q ) jest również nazywany dyskretnym wielomianem q-Hermite'a I, a ĥ _n ( x ; q ) jest również nazywany dyskretnym wielomianem q-Hermite'a II.

Definicja

Dyskretne wielomiany q -Hermite'a są podane w postaci podstawowych funkcji hipergeometrycznych , a wielomiany Al-Salama-Carlitza przez

${\ Displaystyle \ Displaystyle h_ {n} (x; q) = q ^ {\ binom {n} {2}} {}_{2}\fi_{1}(q^{-n},x^{-1};0;q,-qx)=x^{n}{}_{2}\fi_{ 0}(q^{-n},q^{-n+1};;q^{2},q^{2n-1}/x^{2})=U_{n}^{(-1 )}(x;q)}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ kapelusz {h}} _ {n}(x;q)=i^{-n}q^{-{\binom {n}{2}}}{}_{2}\phi _{0}(q^{-n}, ix;;q,-q^{n})=x^{n}{}_{2}\phi _{1}(q^{-n},q^{-n+1};0;q ^{2},-q^{2}/x^{2})=i^{-n}V_{n}^{(-1)}(ix;q)}$

i są spokrewnieni przez

${\ Displaystyle h_ {n} (ix; q ^ {- 1}) = i ^ {n} {\ kapelusz {h} }_{n}(x;q)}$

• Berg, chrześcijanin; Ismael, Mourad (1994), Wielomiany Q-Hermite'a i klasyczne wielomiany ortogonalne , arXiv : math / 9405213
•    Al-Salam, Waszyngton; Carlitz, L. (1965), „Niektóre ortogonalne wielomiany q”, Mathematische Nachrichten , 30 (1–2): 47–61, doi : 10,1002 / mana.19650300105 , ISSN 0025-584X , MR 0197804
•    Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Podstawowe serie hipergeometryczne , Encyklopedia matematyki i jej zastosowań, tom. 96 (wyd. 2), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83357-8 , MR 2128719
•   Jazmati, M. Saleh; Mezlini, Kamel; Bettaibi, Neji (2014), „Uogólnione wielomiany q-Hermite'a i równanie cieplne q-Dunkla”, Biuletyn analizy matematycznej i zastosowań , Prishtine, Serbia: Prishtine: Department of Mathematics and Computer Sciences, 6 (4): 16–43 , ISSN 1821-1291
•    Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A.; Swarttouw, René F. (2010), Hypergeometric ortogonalne wielomiany i ich q-analogi , Springer Monographs in Mathematics, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-05014-5 , ISBN 978-3 -642-05013-8 , MR 2656096
•    Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), „Rozdział 18 Wielomiany ortogonalne” , w: Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248