Dyspersja prędkości grupowej

W optyce grupowa dyspersja prędkości (GVD) jest cechą ośrodka dyspersyjnego , używaną najczęściej do określenia, w jaki sposób ośrodek wpłynie na czas trwania przechodzącego przez niego impulsu optycznego. Formalnie GVD definiuje się jako pochodną odwrotności prędkości grupowej światła w materiale względem częstotliwości kątowej ,

{\ Displaystyle {\ textrm {GVD}} (\ omega _ {0}) \ równoważnik {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy \omega }}\left({\frac {1}{v_{g}(\omega)}}\right)_{\omega =\omega _{0}},}

gdzie i $)}$ $ω$ ${\ Displaystyle v_ {g} (\ omega) \ równoważnik \ częściowy \ omega / \ częściowy k}$ { Displaystyle $\$ . Jednostkami dyspersji prędkości grupowej są [czas] ² /[odległość], często wyrażane w fs ² /mm.

Równoważnie dyspersję prędkości grupowej można zdefiniować za pomocą zależnego od ośrodka wektora falowego zgodnie z ${\ Displaystyle k (\ omega)}$

{\ Displaystyle {\ textrm {GVD}} (\ omega _ {0}) \ równoważnik \ lewo ({\ Frac {\ częściowe ^ {2} k}{\częściowo \omega ^{2}}}\right)_{\omega =\omega _{0}},}

lub pod względem współczynnika załamania światła ${\ Displaystyle n (\ omega)}$ według

{\ Displaystyle {\ textrm {GVD}} (\ omega _ {0}) \ equiv {\ Frac {2} {c}} \ lewo ({\ Frac {\ częściowy n} {\ częściowy \ omega}} \ prawo )_{\omega =\omega _{0}}+{\frac {\omega _{0}}{c}}\left({\frac {\częściowe ^{2}n}{\częściowe \omega ^ {2}}}\right)_{\omega =\omega _{0}}.}

Aplikacje

Dyspersja prędkości grupowej jest najczęściej używana do oszacowania ilości ćwierkania , które zostanie nałożone na impuls światła po przejściu przez interesujący materiał. Odpowiednie wyrażenie jest podane przez

{\ Displaystyle {\ textrm {ćwierkanie}} = ({\ textrm {materiał}} \, \, {\ textrm {grubość}}} \, \ razy \, {\ textrm {GVD}} (\ omega _ {0 })\,\times \,({\textrm {szerokość pasma}}).}

Pochodzenie

Prostą ilustrację tego, jak GVD można wykorzystać do określenia ćwierkania impulsu, można zobaczyć, patrząc na efekt impulsu o $grubości$ przekształceniu o czasie trwania przechodzącego przez płaski ośrodek o d . Przed przejściem przez ośrodek przesunięcia fazowe wszystkich częstotliwości są wyrównane w czasie, a impuls można opisać w funkcji czasu zgodnie z wyrażeniem

{\ Displaystyle E (t) = Ae ^ {- {\ Frac {t ^ {2}} {4 \ sigma ^ {2}} }}e^{-i\omega _{0}t},}

lub równoważnie, jako funkcja częstotliwości zgodnie z wyrażeniem

{\ Displaystyle E (\ omega) = Bądź ^ {- {\ Frac {(w-w_ {0}) ^ {2 }}{4(1/2\sigma )^{2}}}}}

(parametry A i B są stałymi normalizacyjnymi). $fazy$ powoduje akumulację , można opisać wg

{\ Displaystyle E (\ omega) = Bądź ^ {- {\ Frac {(w-w_ {0}) ^ {2}} {4 (1/2 \ sigma) ^ {2}}}} e ^ {ik (\omega)d}.}

Ogólnie rzecz biorąc, współczynnik załamania światła ${\ Displaystyle n (\ omega)}$ , a zatem wektor falowy ${\ Displaystyle k (\ omega) = n (\ omega) ) \ omega / c} , może być$ $.$ funkcją , co utrudnia analityczne wykonanie odwrotnej transformaty Fouriera z powrotem do dziedziny czasu Jeśli jednak szerokość pasma impulsu jest wąska w stosunku do krzywizny ${\ Displaystyle n}$ , to dobre przybliżenia wpływu współczynnika załamania światła można uzyskać, zastępując $omega$ skupionym wokół ω $_ {0} }$ :

{\ Displaystyle {\ Frac {n (\ omega) \ omega} {c}} = \ underbrace {\ Frac {n (\ omega _ {0}) \ omega _ {0}} {c}} _ {k ( \omega _{0})}\quad +\quad \underbrace {\left[{\frac {n(\omega _{0})+n'(\omega _{0})\omega _{0}} {c}}\right]} _{k'(\omega _{0})}(\omega -\omega _{0})\quad +\quad {\frac {1}{2}}\underbrace { \left[{\frac {2n'(\omega _{0})+n''(\omega _{0})\omega _{0}}{c}}\right]} _{\textrm {GVD }}(\omega -\omega _{0})^{2}\quad +\quad ...}

Skrócenie tego wyrażenia i wstawienie go do wyrażenia w domenie post-średniej częstotliwości skutkuje wyrażeniem w domenie post-medium czasu

{\ Displaystyle E _ {\ tekst {post}} (t) = A _ {\ tekst {post}} \ exp \ lewo [- {\ Frac {\ lewo (tk '(\ omega _ {0}) d \ prawo) ^{2}}{4\left(\sigma ^{2}-i\,{\textrm {GVD}}\,d/2\right)}}\right]e^{i[k(\omega _ {0})d-\omega _{0}t]}}

.

W sumie impuls wydłuży się do wartości odchylenia standardowego intensywności równej

{\ Displaystyle \ sigma _ {\ tekst {post}} = {\ sqrt {\ sigma ^ {2} + \ lewo [d \, {\ textrm {GVD}}(\omega _{0}){\frac {1}{2\sigma }}\right]^{2}}}}

w ten sposób sprawdzając poprawność wyrażenia początkowego. Zauważ, że dla ograniczonego transformacją σ _{${\ displaystyle \ omega}$} σ _t = 1/2, co sprawia, że właściwe jest określenie 1/(2σ _t ) jako szerokości pasma.

Alternatywne wyprowadzenie

Alternatywne wyprowadzenie związku między ćwierkaniem impulsu a GVD, które bardziej bezpośrednio ilustruje powód, dla którego GVD można zdefiniować za pomocą pochodnej odwrotnej prędkości grupowej, można przedstawić w następujący sposób. Rozważ dwa ograniczone $które początkowo$ o częstotliwościach nośnych $i$ , się w czasie Po przejściu przez ośrodek te dwa impulsy będą wykazywać opóźnienie czasowe między ich odpowiednimi centrami obwiedni impulsu, określone przez

{\ Displaystyle \ Delta T = d \ lewo ({\ Frac {1} {v_ {g} (\ omega _ {2})}} - {\ Frac {1} {v_ {g} (\ omega _ {1 })}}\Prawidłowy).}

Wyrażenie można przybliżyć jako rozwinięcie Taylora , dając

{\ Displaystyle \ Delta T = d \ lewo ({\ Frac {1} {v_ {g} (\ omega _ {1})}} + {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy \ omega}} \ lewo ( {\frac {1}{v_{g}(\omega ')}}\right)_{\omega '=\omega _{1}}(\omega _{2}-\omega _{1})- {\frac {1}{v_{g}(\omega _{1})}}\right),}

Lub,

{\ Displaystyle \ Delta T = d \, \ razy \, {\ textrm {GVD}} (\ omega _ {1}) \, \ razy \, (\ omega _ {2} - \ omega _ {1}) .}

Stąd można sobie wyobrazić skalowanie tego wyrażenia w górę o dwa impulsy do nieskończenie wielu. $w$ częstotliwości musi $Delta T}$ zastąpiona przez szerokość pasma, a opóźnienie czasowe indukowany ćwierkanie .

Dyspersja opóźnienia grupowego

Ściśle powiązaną, ale niezależną wielkością jest dyspersja opóźnienia grupowego ( GDD ), zdefiniowana w taki sposób, że dyspersja prędkości grupowej jest dyspersją opóźnienia grupowego na jednostkę długości. GDD jest powszechnie używany jako parametr do charakteryzowania zwierciadeł warstwowych, gdzie dyspersja prędkości grupowej nie jest szczególnie dobrze zdefiniowana, jednak ćwierkanie wywołane po odbiciu się od zwierciadła może być dobrze scharakteryzowane. Jednostkami dyspersji opóźnienia grupowego są [czas] ² , często wyrażane w fs ² .

Dyspersja opóźnienia grupowego (GDD) elementu optycznego jest pochodną opóźnienia grupowego względem częstotliwości kątowej , a także drugą pochodną fazy optycznej. ${\ textstyle D_ {2} (\ omega) = - {\ Frac {\ częściowe T_ {g}} {d \ omega}} = {\frac {d^{2}\phi}{d\omega^{2}}}}$ . Jest miarą dyspersji chromatycznej elementu. GDD jest powiązany z parametrem całkowitej dyspersji jako ${\ displaystyle D _ {\ text {tot}}}$

${\ Displaystyle D_ {2} (\ omega) = - {\ Frac {2 \ pi c} {\ lambda ^ {2}}} D _ {\ tekst { brzdąc}}}$

Linki zewnętrzne