Dystrybucja dyskretno-stabilna

Rozkłady dyskretno-stabilne są klasą rozkładów prawdopodobieństwa , których właściwość polega na tym, że suma kilku zmiennych losowych z takiego rozkładu ma rozkład według tej samej rodziny. Są dyskretnym analogiem rozkładów ciągłych i stabilnych .

Rozkłady dyskretno-stabilne były wykorzystywane w wielu dziedzinach, w szczególności w sieciach bezskalowych, takich jak Internet , sieci społecznościowe , a nawet sieci semantyczne .

Zarówno dyskretne, jak i ciągłe klasy rozkładu stabilnego mają takie właściwości, jak nieskończona podzielność , ogony potęgowe i unimodalność .

Najbardziej znanym dyskretnym rozkładem stabilnym jest rozkład Poissona , który jest przypadkiem szczególnym jako jedyny rozkład dyskretno-stabilny, dla którego średnia i wszystkie momenty wyższego rzędu są skończone. ^{[ wątpliwe – dyskutuj ]}

Definicja

Rozkłady dyskretno-stabilne są definiowane poprzez ich funkcję generującą prawdopodobieństwo

{\ Displaystyle G (s | \ nu, a) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} P (N | \ nu, a) (1-s) ^ {N} = \ exp (-as ^{\nu}).}

W powyższym ${\ displaystyle a> 0}$ $0<\nu \leq 1$ parametrem skali i opisuje zachowanie potęgi w taki sposób, że gdy $0<\nu <1$ ,

{\ Displaystyle \ lim _ {N \ do \ infty} P (N | \ nu, a) \ sim {\ Frac {1} {N ^ {\ nu + 1}}}.}

Kiedy $za$ staje się znanym rozkładem Poissona ze średnią $displaystyle a$ .

Pierwotny rozkład jest odzyskiwany przez wielokrotne różniczkowanie funkcji generującej:

{\ Displaystyle P (N | \ nu, a) = \ lewo. {\ Frac {(-1) ^ {N}} {N!}} {\ Frac {d ^ {N} G (s | \ nu, a)}{ds^{N}}}\right|_{s=1}.}

Wyrażenie w postaci zamkniętej wykorzystujące funkcje elementarne do rozkładu prawdopodobieństwa rozkładów dyskretno-stabilnych nie jest znane, z wyjątkiem przypadku Poissona, w którym

{\ Displaystyle \! P (N|\ nu = 1, a) = {\ Frac {a ^ {N} e ^ {-a}} {N!}}.}

Istnieją jednak wyrażenia wykorzystujące $displaystyle \ nu = 1/3$ dla ( w kategoriach funkcji Bessela i $\$ (pod względem funkcji hipergeometrycznych ).

Jako złożone rozkłady prawdopodobieństwa

Całą klasę rozkładów dyskretno-stabilnych można utworzyć jako złożone rozkłady prawdopodobieństwa Poissona, w których średnia rozkładu Poissona $jest$ zdefiniowana jako zmienna losowa z funkcją gęstości prawdopodobieństwa PDF). Kiedy PDF średniej $}$ jednostronnym rozkładem ciągłym stabilnym z parametrem stabilności i parametrem skali , wynikowy rozkład jest stabilny dyskretnie z indeksem ${\ Displaystyle 0 <\ alfa <1$ ${\ Displaystyle \ nu = \ alfa}$ i parametr skali ${\ Displaystyle a = c \ sec (\ alfa \ pi / 2)}$ .

Formalnie jest to napisane:

{\ Displaystyle P (N | \ alfa, c\sec(\alpha \pi /2))=\int _{0}^{\infty}P(N|1,\lambda )p(\lambda ;\alpha,1,c,0)\,d \lambda }

gdzie ${\ Displaystyle p (x; \ alfa, 1, c, 0)}$ jest pdf jednostronnego ciągłego stabilnego rozkładu z parametrem symetrii ${\ Displaystyle \beta = 1}$ i parametr lokalizacji ${\ displaystyle \ mu = 0}$ .

Bardziej ogólny wynik stwierdza, że utworzenie rozkładu złożonego z dowolnego rozkładu dyskretno-stabilnego o indeksie $nu$ jednostronnym rozkładem ciągłym stabilnym z indeksem skutkuje rozkładem dyskretno-stabilnym $}$ z indeksem $α$ indeks potęgowy pierwotnej dystrybucji o współczynnik $displaystyle \ alpha}$ .

Innymi słowy,

{\ Displaystyle P (N | \ nu \ cdot \ alfa, c \ sec (\ pi \ alfa / 2)) = \ int _ {0} ^ {\ infty} P (N | \ alfa, \ lambda) p ( \lambda ;\nu ,1,c,0)\,d\lambda .}

W granicy Poissona

W granicy $pi$ $2 )}$ { \ Displaystyle dla małych $Displaystyle$ jednak dla $N \ gg 1}$ dominuje ogon mocy.

Zbieżność $losowych$ dyskretno wolno, gdy ${\ Displaystyle \ nu \ około 1}$ - granicą jest rozkład Poissona, gdy ${\ Displaystyle \ nu > 1}$ i ${\ Displaystyle P (N |\ nu, a)}$ , gdy ${\ Displaystyle \ nu \ równoważnik 1}$ .

Zobacz też

Dalsza lektura

Feller, W. (1971) Wprowadzenie do teorii prawdopodobieństwa i jej zastosowań , tom 2. Wiley. ISBN 0-471-25709-5
Gnedenko, BV; Kołmogorow, AN (1954). Rozkłady graniczne dla sum niezależnych zmiennych losowych . Addison-Wesley.
Ibragimow, I.; Linnik, Yu (1971). Niezależne i stacjonarne sekwencje zmiennych losowych . Wydawnictwo Wolters-Noordhoff Groningen, Holandia.