Ekspansja Sommerfelda

Rozwinięcie Sommerfelda to metoda aproksymacji opracowana przez Arnolda Sommerfelda dla pewnej klasy całek , które są powszechne w materii skondensowanej i fizyce statystycznej . Fizycznie całki reprezentują średnie statystyczne przy użyciu rozkładu Fermiego – Diraca .

Gdy $displaystyle$ temperatura jest dużą wielkością, całkę można rozszerzyć jako $\ beta}$

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ Frac {H (\ varepsilon)}} {e ^ {\ beta (\ varepsilon - \ mu)} + 1}} \, \ operatorname {d } \varepsilon =\int _{-\infty }^{\mu }H(\varepsilon )\,\mathrm {d} \varepsilon +{\frac {\pi ^{2}}{6}}\left( {\frac {1}{\beta}}\right)^{2}H^{\prime}(\mu)+O\left({\frac {1}{\beta \mu}}\right)^ {4}}$

gdzie ${\ Displaystyle H ^ {\ pierwsza} (\ mu)}$ jest używany do oznaczenia pochodnej ocenianej na ${\ Displaystyle H (\ varepsilon)}$$\ mu$${\ Displaystyle \ varepsilon$$.$$notacja$ gdzie do porządku Rozwinięcie jest ważne tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle H (\ varepsilon)}$ znika jako ${\ Displaystyle \ varepsilon \ rightarrow - \ infty}$ i nie idzie szybciej niż wielomianowo w ${\ Displaystyle \ varepsilon}$ jak ${\ Displaystyle \ varepsilon \rightarrow \infty }$ . Jeśli całka wynosi od zera do nieskończoności, to całka w pierwszym członie rozwinięcia wynosi od zera do ${\ displaystyle \ mu},$ a drugi człon pozostaje niezmieniony.

Zastosowanie do modelu elektronów swobodnych

Całki tego typu często pojawiają się przy obliczaniu właściwości elektronowych, takich jak pojemność cieplna , w modelu elektronów swobodnych ciał stałych. W tych obliczeniach powyższa całka wyraża oczekiwaną wartość ilości. ${\ Displaystyle H (\ varepsilon)}$ . Dla tych całek możemy następnie zidentyfikować jako temperaturę odwrotną $displaystyle$ jako potencjał chemiczny $\ mu}$ . Dlatego rozwinięcie Sommerfelda jest ważne dla dużych $)$ niskotemperaturowych systemów .

Wyprowadzenie do drugiego rzędu w temperaturze

Poszukujemy ekspansji, która jest drugiego rzędu pod względem temperatury, tj. $}$ \ ${2}$ jest iloczynem temperatury i stałej Boltzmanna . Rozpocznij od zmiany zmiennych na ${\ Displaystyle \ tau x = \ varepsilon -\ mu}$ :

${\ Displaystyle I = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ Frac {H (\ varepsilon)}} {e ^ {\ beta (\ varepsilon - \ mu)} + 1}} \, \ operatorname {d} \varepsilon =\tau \int _{-\infty }^{\infty}{\frac {H(\mu +\tau x)}{e^{x}+1}}\,\mathrm { d} x\,,}$

$}$ zakres integracji i ${\ Displaystyle x \ strzałka w prawo -x}$${1}$ używając zmiennych :

${\ Displaystyle I = \ underbrace {\ tau \ int _ {- \ infty} ^ {0} {\ Frac {H (\ mu + \ tau x)} {e ^ {x} + 1}} \, \ operatorname {d} x} _{I_{1}}+\underbrace {\tau \int _{0}^{\infty}{\frac {H(\mu +\tau x)}{e^{x}+ 1}}\,\mathrm {d} x} _{I_{2}}\,.}$

${\ Displaystyle I_ {1} = \ tau \ int _ {- \ infty} ^ {0} {\ Frac {H (\ mu + \ tau x)} {e ^ {x} + 1}} \, \mathrm {d} x=\tau \int _{0}^{\infty}{\frac {H(\mu -\tau x)}{e^{-x}+1}}\,\mathrm { d} x\,}$

Następnie zastosuj algebraiczną „sztuczkę” na mianowniku , ja $}$ {1}

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {e ^ {- x} + 1}} = 1 - {\ Frac {1} {e ^ {x} +1}}\,,}$

pozyskać:

${\ Displaystyle I_ {1} = \ tau \ int _ {0} ^ { \infty }H(\mu -\tau x)\,\mathrm {d} x-\tau \int _{0}^{\infty}{\frac {H(\mu -\tau x)}{e ^{x}+1}}\,\mathrm {d} x\,}$

Wróć do oryginalnych zmiennych z ${\ Displaystyle - \ tau \ operatorname {d} x = \ operatorname {d} \ varepsilon}$ w pierwszym wyrazie ${\ Displaystyle I_ {1}}$ . Połącz ${\ Displaystyle I = I_ {1} + I_ {2}},$ aby uzyskać:

${\ Displaystyle I = \ int _ {- \ infty} ^{\mu }H(\varepsilon )\,\mathrm {d} \varepsilon +\tau \int _{0}^{\infty }{\frac {H(\mu +\tau x)-H(\ mu -\tau x)}{e^{x}+1}}\,\mathrm {d} x\,}$

$H (\ varepsilon)}$ można wyrazić jako przybliżenie pierwszej pochodnej, pod warunkiem, że jest wystarczająco mały i wystarczająco gładki: $Displaystyle$

${\ Displaystyle \ Delta H = H (\ mu + \ tau x) -H (\ mu -\tau x)\około 2\tau xH'(\mu )+\cdots \,,}$

pozyskać,

${\ Displaystyle I = \ int _ {- \ infty} ^ {\ mu} H ( \varepsilon )\,\mathrm {d} \varepsilon +2\tau ^{2}H'(\mu )\int _{0}^{\infty}{\frac {x\mathrm {d} x}{ e^{x}+1}}\,}$

Wiadomo, że całka oznaczona to:

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {x \ operatorname {d} x} {e ^ {x} + 1}} = {\frac {\pi ^{2}}{12}}}$ .

Stąd,

${\ Displaystyle I = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ Frac {H (\ varepsilon)}} {e ^ {\ beta (\ varepsilon - \ mu)} + 1}} \ \ operatorname {d} \varepsilon \około \int _{-\infty }^{\mu }H(\varepsilon )\,\mathrm {d} \varepsilon +{\frac {\pi ^{2}}{6\beta ^{2}}}H'(\mu)\,}$

Terminy wyższego rzędu i funkcja generująca

Wyrazy wyższego rzędu w rozwinięciu Sommerfelda możemy otrzymać za pomocą funkcji generującej momenty rozkładu Fermiego. To jest podane przez

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ Frac {d \ epsilon} {2 \ pi}} e ^ {\ tau \ epsilon /2\pi }\left\{{\frac {1}{1+e^{\beta (\epsilon -\mu )}}}-\theta (-\epsilon )\right\}={\frac {1}{\tau}}\left\{{\frac {({\frac {\tau T}{2}})}{\sin({\frac {\tau T}{2}})}} e^{\tau \mu /2\pi }-1\prawo\},\quad 0<\tau T/2\pi <1.}$

Tutaj ${\ Displaystyle k _ {\ rm {B}} T = \ beta ^ {- 1}}$ i funkcja kroku Heaviside ${\ Displaystyle - \ theta (- \ epsilon) }$ odejmuje rozbieżny udział temperatury zerowej. Rozszerzenie w potęgach $na$ przykład

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty}} \frac {d\epsilon }{2\pi}}\left\{{\frac {1}{1+e^{\beta (\epsilon -\mu)}}}-\theta (-\epsilon)\ prawo\}=\lewo({\frac {\mu }{2\pi}}\prawo),}$

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty}} {\ Frac {d \ epsilon} {2 \ pi}} \ lewo ({\ Frac {\ epsilon} {2 \ pi}} \ prawej) \ lewo\{{\frac {1}{1+e^{\beta (\epsilon -\mu )}}}-\theta (-\epsilon )\right\}={\frac {1}{2!} }\left({\frac {\mu }{2\pi}}\right)^{2}+{\frac {T^{2}}{4!}},}$

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty}} {\ Frac {d \ epsilon} {2 \ pi}} {\ Frac {1} {2!}} \ lewo ({\ Frac {\ epsilon }{2\pi }}\right)^{2}\left\{{\frac {1}{1+e^{\beta (\epsilon -\mu )}}}-\theta (-\epsilon )\right\}={\frac {1}{3!}}\left({\frac {\mu }{2\pi}}\right)^{3}+\left({\frac {\mu }{2\pi}}\right){\frac {T^{2}}{4!}},}$

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty}} {\ Frac {d \ epsilon} {2 \ pi}} {\ Frac {1} {3!}} \ lewo ({\ Frac {\ epsilon }{2\pi }}\right)^{3}\left\{{\frac {1}{1+e^{\beta (\epsilon -\mu )}}}-\theta (-\epsilon )\right\}={\frac {1}{4!}}\left({\frac {\mu }{2\pi}}\right)^{4}+{\frac {1}{2! }}\left({\frac {\mu }{2\pi}}\right)^{2}{\frac {T^{2}}{4!}}+{\frac {7}{8} }{\frac {T^{4}}{6!}},}$

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty}} {\ Frac {d \ epsilon} {2 \ pi}} {\ Frac {1} {4!}} \ lewo ({\ Frac {\ epsilon }{2\pi }}\right)^{4}\left\{{\frac {1}{1+e^{\beta (\epsilon -\mu )}}}-\theta (-\epsilon )\right\}={\frac {1}{5!}}\left({\frac {\mu }{2\pi}}\right)^{5}+{\frac {1}{3! }}\left({\frac {\mu }{2\pi}}\right)^{3}{\frac {T^{2}}{4!}}+\left({\frac {\mu }{2\pi}}\right){\frac {7}{8}}{\frac {T^{4}}{6!}},}$

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ Frac {d \ epsilon} {2 \ pi}} {\ Frac {1} {5!}} \ lewo ({\ Frac {\ epsilon }{2\pi }}\right)^{5}\left\{{\frac {1}{1+e^{\beta (\epsilon -\mu )}}}-\theta (-\epsilon ) \right\}={\frac {1}{6!}}\left({\frac {\mu}}{2\pi}}\right)^{6}+{\frac {1}{4!} }\left({\frac {\mu }{2\pi}}\right)^{4}{\frac {T^{2}}{4!}}+{\frac {1}{2!} }\left({\frac {\mu }{2\pi}}\right)^{2}{\frac {7}{8}}{\frac {T^{4}}{6!}}+ {\frac {31}{24}}{\frac {T^{6}}{8!}}.}$

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {d \ epsilon }{2 \ pi}} \ sinh (\ epsilon \ tau / \ pi) {\ frac {1} {e ^ {\ beta \epsilon }-1}}={\frac {1}{4\tau }}\left\{1-{\frac {\tau T}{\tan \tau T}}\right\},\quad 0<\tau T<\pi .}$ Bose'a

Notatki

•   Sommerfeld, A. (1928). "Zur Elektronentheorie der Metalle auf Grund der Fermischen Statistik". Zeitschrift für Physik . 47 (1–2): 1–3. Bibcode : 1928ZPhy...47....1S . doi : 10.1007/BF01391052 . S2CID 116911592 .
•   Ashcroft, Neil W.; Mermin, N. David (1976). Fizyka ciała stałego . Nauka Thomsona. P. 760 . ISBN 978-0-03-083993-1 .