Elastyczność łuku

W matematyce i ekonomii elastyczność łuku to elastyczność jednej zmiennej względem innej między dwoma danymi punktami. Jest to stosunek procentowej zmiany jednej ze zmiennych między dwoma punktami do procentowej zmiany drugiej zmiennej. Kontrastuje to z elastycznością punktową , która jest granicą elastyczności łuku, gdy odległość między dwoma punktami zbliża się do zera, a zatem jest definiowana w jednym punkcie, a nie w parze punktów.

Podobnie jak elastyczność punktowa, elastyczność łuku może mieć różną wartość w zależności od punktu początkowego. Na przykład łukowa elastyczność podaży produktu względem ceny produktu może być duża, gdy cena początkowa i końcowa są niskie, ale może być mała, gdy obie ceny są wysokie.20%/10%=2

Formuła

Elastyczność łuku y x jest zdefiniowana jako:

{\ Displaystyle E_ {x, y} = {\ Frac {\ % {\ mbox {zmiana}} x} {\% {\ mbox {zmiana}} y}}}

gdzie procentowa zmiana przejścia z punktu 1 do punktu 2 jest zwykle obliczana względem punktu środkowego:

{\ Displaystyle \ % {\ mbox {zmiana}} x = {\ Frac {x_ {2} -x_ {1}} {(x_ {2} + x_ {1})/2}};}

{\ Displaystyle \ % {\ mbox {zmiana w}} y = {\ Frac {y_ {2} -y_ {1}} {(y_ {2} + y_ {1}) / 2}}.}

Użycie wzoru na elastyczność łuku punktu środkowego (z punktem środkowym używanym jako podstawa zmiany, zamiast punktu początkowego ( x ₁ , y ₁ ), który jest używany w prawie wszystkich innych kontekstach do obliczania procentów) było zalecane przez RGD Allena dla stosuje się, gdy x odnosi się do ilości popytu lub podaży dobra, a y odnosi się do jego ceny, ze względu na następujące właściwości: (1) jest symetryczny względem dwóch cen i ilości, (2) jest niezależny od jednostek pomiaru i (3) daje wartość jedności, jeśli całkowite przychody (cena razy ilość) w dwóch punktach są równe.

Elastyczność łuku jest stosowana, gdy nie istnieje funkcja ogólna dla zależności dwóch zmiennych, ale znane są dwa punkty zależności. Natomiast obliczenie elastyczności punktowej wymaga szczegółowej znajomości zależności funkcjonalnej i można je obliczyć wszędzie tam, gdzie funkcja jest zdefiniowana.

Dla porównania elastyczność punktu y x jest dana przez

{\ Displaystyle E_ {x, y} = {\ Frac {\ częściowe x} {\ częściowe y}} \ cdot {\ Frac {y}{x}}={\frac {\częściowo \ln x}{\częściowo \ln y}}}

Zastosowanie w ekonomii

Elastyczność łukowa wielkości popytu (lub podaży) Q w odniesieniu do ceny P, znana również jako łukowa elastyczność cenowa popytu (lub podaży), jest obliczana jako

{\ Displaystyle (\ % {\ mbox {zmiana w}} Q) / (\% {\ mbox {zmiana w}} P)}

Przykład

${2},$ na krzywej popytu ( $\ Displaystyle$ , są znane. (Nic więcej nie można wiedzieć o krzywej popytu.) Następnie elastyczność łuku uzyskuje się za pomocą wzoru

{\ Displaystyle E_ {p} = {\ Frac {\ Frac {Q_ {2} -Q_ {1}} {(Q_ {1} + Q_ {2})/2}} {\ Frac {P_ {2} - P_{1}}{(P_{1}+P_{2})/2}}}.}

Załóżmy, że wielkość popytu na hot dogi w przerwie meczu piłki nożnej jest mierzona w dwóch różnych meczach, podczas których obowiązują dwie różne ceny: przy jednym pomiarze ilość, na którą popyt wynosi 80 sztuk, a przy drugim pomiarze 120 sztuk. Zmiana procentowa, mierzona w stosunku do średniej, wyniosłaby (120-80)/((120+80)/2))=40%. Gdyby pomiary wykonano w odwrotnej kolejności (najpierw 120, a następnie 80), bezwzględna wartość zmiany procentowej byłaby taka sama.

W przeciwieństwie do tego, gdyby procentowa zmiana wielkości popytu została zmierzona w stosunku do wartości początkowej, obliczona zmiana procentowa wyniosłaby (120-80)/80 = 50%. Procentowa zmiana dla odwrotnej sekwencji obserwacji, 120 jednostek do 80 jednostek, wyniosłaby (80-120)/120 = -33,3%. Formuła punktu środkowego ma tę zaletę, że zmiana procentowa od A do B jest mierzona w wartości bezwzględnej tak samo jak zmiana od B do A.

Załóżmy, że zmiana ceny hot dogów, która doprowadziła do zmiany wielkości popytu z 80 na 120, wyniosła z 3 dolarów na 1 dolara. Procentowa zmiana ceny mierzona względem punktu środkowego wyniosłaby (1-3)/2 = -100%, więc cenowa elastyczność popytu wynosi 40%/(-100%) lub -0,4. Często odnosi się do bezwzględnej wartości elastyczności cenowej jako po prostu elastyczności cenowej, ponieważ dla normalnej (malejącej) krzywej popytu elastyczność jest zawsze ujemna, więc część „minus” może być ukryta. Zatem łukowa elastyczność cenowa popytu fanów piłki nożnej wynosi 0,4.

Zobacz też

^ Allen, RGD (1933). „Koncepcja łukowej elastyczności popytu”. Przegląd Studiów Ekonomicznych . 1 (3): 226–229. doi : 10.2307/2967486 . JSTOR 2967486 .
Bibliografia _ Powell, Melanie; Matthews, Kent (2014). "Elastyczność". Ekonomia (9. wydanie europejskie). Harlow: Pearsona. P. 82. ISBN 978-1-292-00945-2 .

[1] Allen, RGD (1933). „Koncepcja łukowej elastyczności popytu”. Przegląd Studiów Ekonomicznych . 1 (3): 226–229. doi : 10.2307/2967486 . JSTOR 2967486 .

[2] Bibliografia _ Powell, Melanie; Matthews, Kent (2014). "Elastyczność". Ekonomia (9. wydanie europejskie). Harlow: Pearsona. P. 82. ISBN 978-1-292-00945-2 .