Elastyczność substytucji międzyokresowej

W ekonomii elastyczność międzyokresowej substytucji (lub międzyokresowa elastyczność substytucji, EIS, IES ) jest miarą reakcji tempa wzrostu konsumpcji na realną stopę procentową . Jeśli realna stopa procentowa wzrośnie, konsumpcja bieżąca może spaść ze względu na wzrost zwrotu z oszczędności; ale konsumpcja bieżąca może również wzrosnąć, ponieważ gospodarstwo domowe decyduje się na natychmiastową konsumpcję, ponieważ czuje się bogatsze. Efektem netto bieżącej konsumpcji jest elastyczność substytucji międzyokresowej.

Definicja matematyczna

Zasadniczo istnieją dwa sposoby definiowania EIS. Pierwszy sposób polega na zdefiniowaniu go abstrakcyjnie jako funkcji wywodzącej się z funkcji użyteczności, a następnie zinterpretowaniu go jako elastyczności. Drugim sposobem jest jawne wyprowadzenie go jako sprężystości . Te dwa sposoby generalnie dają tę samą definicję.

Definicja abstrakcyjna

Biorąc pod uwagę funkcję użyteczności , gdzie oznacza poziom zużycia $c)}$ jest zdefiniowany jako ${\ Displaystyle u$

$${\ Displaystyle \ sigma (c) = - {\ Frac {u' (c)} {cu'' (c)}}}$$

Zauważ, że ta definicja jest odwrotnością względnej awersji do ryzyka .

Możemy zdefiniować rodzinę funkcji użyteczności, którą można rozumieć jako odwrotną użyteczność CRRA:

$${\ Displaystyle u _ {\ sigma} (c) = {\ rozpocząć {przypadki} \frac {\sigma }{\sigma -1}}(c^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}-1){\text{if }}\sigma \neq 1\\\ln c \quad {\text{jeśli}}\sigma =1\end{przypadki}}}$$

Stałe krzywe użyteczności EIS dla ${\ Displaystyle \ sigma \ in \ {- 1,0,1,1,10 \}}$ .

Dla każdego funkcja użyteczności $\$ stałą EIS $\ Displaystyle \ sigma$$0}$ . W zwykłych zastosowaniach ekonomicznych istnieje ograniczenie $,$ że agenci nie kochają ryzyka

Na diagramie widać, że gdy $że agent nie próbuje wygładzać konsumpcji$ czasie, podobnie jak neutralny dla ryzyka agent nie preferuje gier z płynniejszymi wynikami.

Definicja pochodna

Wyprowadzenie różni się dla czasu dyskretnego i ciągłego. Zobaczymy, że w przypadku CRRA oba podejścia dają tę samą odpowiedź. Poniższe formy funkcyjne zakładają, że użyteczność od konsumpcji jest addytywnie separowalna w czasie.

Czas dyskretny

Całkowita użyteczność życia jest dana przez

${\ Displaystyle U = \ suma _ {t = 0} ^ {T} \ beta ^ {t} u (c_ {t})}$

W tym ustawieniu realna stopa procentowa brutto będzie określona przez następujący warunek: ${\ displaystyle R}$

${t}) = Q \ beta Ru' (c_ {t + 1})}$

$Zainwestowana dzisiaj$ ilość pieniędzy kosztuje $jednostki$ użyteczności, a więc musi dawać $+ r {\$ procentowej brutto , gdzie jest stopą procentową netto (jeśli więcej, agent mógłby się wzbogacić, kupując $displaystyle R = 1 +$ oszczędzać więcej).

Rozwiązując stopę procentową brutto, widzimy to

${\ Displaystyle R = {\ Frac {u' (c_ {t})} {\ beta u' (c_ {t + 1})}} }$

W logach mamy

${\ Displaystyle \ ln (R) = \ ln (1 +r)=-\ln {\left[{\frac {u'(c_{t+1})}{u'(c_{t})}}\right]}-\ln {\beta}}$

Ponieważ ${\ Displaystyle \ ln (1 + r) \ około r}$ dla małych ${\ displaystyle r}$ (logi są bardzo bliskie zmianom procentowym) mamy

${\ Displaystyle r \ około - \ ln {\ lewo [{\ Frac {u '(c_ {t + 1 })}{u'(c_{t})}}\right]}-\ln {\beta}}$

Elastyczność substytucji międzyokresowej definiuje się jako procentową zmianę wzrostu konsumpcji na procent wzrostu stopy procentowej netto:

${\ Displaystyle {\ Frac {d \ ln (c_ {t + 1} / c_ {t})} {dr}}}$

Podstawiając powyższe równanie logarytmiczne, możemy zobaczyć, że ta definicja jest równoważna elastyczności wzrostu konsumpcji względem wzrostu użyteczności krańcowej:

${\ Displaystyle - {\ Frac {d \ ln (c_ {t + 1 }/c_{t})}{d\ln(u'(c_{t+1})/u'(c_{t}))}}}$

Każda definicja jest jednak poprawna, przy założeniu, że agent optymalizuje i ma użyteczność rozdzielną w czasie.

Przykład

Niech użyteczność konsumpcji w okresie będzie dana przez ${\ displaystyle t}$

${\ Displaystyle u (c_ {t}) = {\ Frac {c_ {t} ^ {1- \ sigma}} {1- \ sigma}}.}$

Ponieważ ta funkcja użyteczności należy do rodziny funkcji użyteczności CRRA , mamy ${\ Displaystyle u' (c_ {t}) = c_ {t} ^ {- \ sigma}.$ }

${\ Displaystyle \ ln \ lewo [{\ Frac {u' (c_ {t + 1})} {u' (c_ {t})}} \ prawo] = - \ sigma \ ln \ lewo [{\ frac { c_{t+1}}{c_{t}}}\prawo].}$

Można to przepisać jako

${\ Displaystyle \ ln \ lewo [{\ Frac {c_ {t + 1} }{c_{t}}}\right]=-{\frac {1}{\sigma }}\ln \left[{\frac {u'(c_{t+1})}{u'(c_{ t})}}\prawo]}$

Stąd zastosowanie powyższego wzoru pochodnego

${\ Displaystyle - {\ Frac {\ częściowy \ ln (c_ {t + 1} / c_ {t})} {\ częściowy \ ln (u '(c_ {t + 1}) / u' (c_ {t} ))}}=-\left[-{\frac {1}{\sigma }}\right]={\frac {1}{\sigma }}.}$

Czas ciągły

Niech całkowita użyteczność życia będzie dana przez

${\ Displaystyle U = \ int _ {0} ^ {T} e ^ {- \ rho t} u (c_ {t}) dt}$

gdzie do $\ Displaystyle c_ {t}}$ jest skrótem dla ${\ Displaystyle c (t)}$ , ${\ Displaystyle u (c (t))}$ jest użytecznością konsumpcji w (chwilowym) czasie t i $.$ czasową stopą dyskontową Najpierw zdefiniuj miarę względnej awersji do ryzyka (jest to przydatne, nawet jeśli model nie ma niepewności ani ryzyka) jako:

${\ Displaystyle RRA = - { \frac {d(u'(c_{t})}}{d(c_{t})}}{\frac {c_{t}}{u'(c_{t})}}=-u'' (c_{t}){\frac {c_{t}}{u'(c_{t})}}}$

wtedy elastyczność substytucji międzyokresowej jest zdefiniowana jako

${\ Displaystyle EIS = - {\ Frac {\ częściowe ({\ kropka {c}} _ {t} / c_ {t})} {\ częściowe ({\ kropka {u}} '(c_{t})/u'(c_{t}))}}=-{\frac {\częściowy ({\kropka {c}}_{t}/c_{t})}}{\częściowy ( u''(c_{t}){\kropka {c}}_{t}/u'(c_{t})}}}={\frac {\częściowo ({\kropka {c}}_{t }/c_{t})}{\częściowe (RRA\cdot ({\dot {c}}_{t}/c_{t}))}}={\frac {1}{RRA}}=-{ \frac {u'(c_{t})}{u''(c_{t})\cdot c_{t}}}}$

Jeśli funkcja użyteczności jest typu CRRA: u $\ Displaystyle u (c)}$

${\ Displaystyle u (c) = {\ Frac {c ^ {1- \ teta} -1} {1- \ teta}}}$ (ze szczególnym przypadkiem ${\ Displaystyle \ theta = 1}$ będąc ${\ Displaystyle u (c) = \ ln (c)}$ )

wówczas międzyokresowa elastyczność substytucji jest dana przez ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ theta}}}$ . Generalnie niska wartość theta (wysoka elastyczność międzyokresowa) oznacza, że ​​wzrost konsumpcji jest bardzo wrażliwy na zmiany realnej stopy procentowej. Dla teta równego 1 tempo wzrostu konsumpcji reaguje w stosunku jeden do jednego na zmiany realnej stopy procentowej. Wysoki theta oznacza niewrażliwy wzrost konsumpcji.

Model wzrostu Ramseya

W modelu wzrostu Ramseya elastyczność substytucji międzyokresowej determinuje szybkość dostosowania się do stanu ustalonego i zachowanie się stopy oszczędności podczas przejścia. Jeśli elastyczność jest wysoka, to duże zmiany konsumpcji nie są dla konsumentów bardzo kosztowne iw rezultacie, jeśli realna stopa procentowa jest wysoka, zaoszczędzą oni dużą część swoich dochodów. Jeśli elastyczność jest niska, wygładzania konsumpcji jest bardzo silny i z tego powodu konsumenci będą trochę oszczędzać i dużo konsumować, jeśli realna stopa procentowa jest wysoka.

Szacunki

Empiryczne szacunki elastyczności są różne. Część trudności wynika z faktu, że mikroekonomiczne dochodzą do innych wniosków niż badania makroekonomiczne , które wykorzystują dane zagregowane. Metaanaliza 169 opublikowanych badań wykazuje średnią elastyczność na poziomie 0,5, ale także znaczne różnice między krajami.