Energia węzła

W fizycznej teorii węzłów energia węzła jest funkcjonałem w przestrzeni wszystkich konformacji węzłów. Konformacja węzła to szczególne osadzenie koła w przestrzeni trójwymiarowej. W zależności od potrzeb funkcji energetycznej, przestrzeń konformacji jest ograniczona do wystarczająco ładnie zachowującej się klasy. Na przykład, można rozważyć tylko okręgi wielokątne lub ^funkcje C2 . Właściwość funkcjonału często wymaga, aby ewolucja węzła pod wpływem spadku gradientu nie zmieniała typu węzła.

Ładunek elektryczny

Najbardziej powszechny rodzaj energii węzła pochodzi z intuicyjnego postrzegania węzła jako naładowanego elektrycznie . Prawo Coulomba mówi, że dwa ładunki elektryczne tego samego znaku będą się odpychać jako odwrotność kwadratu odległości . W ten sposób węzeł będzie ewoluował podczas opadania gradientu zgodnie z potencjałem elektrycznym do idealnej konfiguracji, która minimalizuje energię elektrostatyczną. Naiwnie zdefiniowana całka dla energii będzie rozbieżna i konieczna jest sztuczka z regularyzacją z fizyki, polegająca na odjęciu składnika od energii. Ponadto węzeł może zmienić typ węzła w trakcie ewolucji, chyba że samoprzecięciu .

Wariacje

Energię elektrostatyczną węzłów wielokątnych badał Fukuhara w 1987 roku, a wkrótce potem inną, geometryczną energię badał Sakuma. W 1988 roku Jun O'Hara zdefiniował energię węzła w oparciu o energię elektrostatyczną, energię Möbiusa . Podstawową właściwością funkcji energetycznej O'Hary jest to, że istnieją nieskończone bariery energetyczne umożliwiające przejście węzła przez siebie. Z pewnymi dodatkowymi ograniczeniami O'Hara wykazał, że istnieje tylko skończenie wiele rodzajów węzłów o energiach mniejszych niż dana granica. Później Freedman, He i Wang usunęli te ograniczenia.