Erlang (jednostka)

Ten artykuł dotyczy jednostki miary w telefonii. W przypadku innych zastosowań zobacz Erlang .

erlang
System jednostkowy	Standardy Sektora Normalizacji Telekomunikacji ITU
Jednostką	oferowany ładunek , przewożony ładunek
Symbol	mi
Nazwany po	Agnera Krarupa Erlanga

Erlang (symbol E ) jest bezwymiarową jednostką używaną w telefonii jako miara oferowanego lub przenoszonego obciążenia na elementach świadczących usługi, takich jak obwody telefoniczne lub centrale telefoniczne . Obwód z jednym przewodem może być używany przez 60 minut w ciągu jednej godziny. Pełne wykorzystanie tej przepustowości, 60 minut ruchu, to 1 erlang.

Przenoszony ruch w erlangach to średnia liczba jednoczesnych połączeń mierzonych w danym okresie (często jednej godzinie), podczas gdy oferowany ruch to ruch, który byłby przenoszony, gdyby wszystkie próby połączenia się powiodły. To, jak duży będzie oferowany ruch, w praktyce będzie zależeć od tego, co stanie się z nieodebranymi połączeniami, gdy wszystkie serwery będą zajęte.

CCITT nazwał międzynarodową jednostkę ruchu telefonicznego erlang w 1946 roku na cześć Agnera Krarupa Erlanga . W analizie Erlanga dotyczącej efektywnego wykorzystania linii telefonicznej wyprowadził formuły dla dwóch ważnych przypadków, Erlang-B i Erlang-C, które stały się fundamentalnymi wynikami w inżynierii teletraffic i teorii kolejek . Jego wyniki, które są nadal używane, wiążą jakość usług z liczbą dostępnych serwerów. Obie formuły przyjmują oferowane obciążenie jako jedno z głównych danych wejściowych (w erlangach), które często wyraża się jako współczynnik nadejścia połączenia pomnożony przez średnią długość połączenia.

Wyróżniającym założeniem formuły Erlang B jest to, że nie ma kolejki, więc jeśli wszystkie elementy usługi są już w użyciu, nowo przychodzące połączenie zostanie zablokowane, a następnie utracone. Wzór podaje prawdopodobieństwo tego zdarzenia. Natomiast formuła Erlang C przewiduje możliwość nieograniczonej kolejki i daje prawdopodobieństwo, że nowe połączenie będzie musiało czekać w kolejce, ponieważ wszystkie serwery są w użyciu. Formuły Erlanga mają dość szerokie zastosowanie, ale mogą zawieść, gdy przeciążenie jest szczególnie duże, powodując wielokrotne ponawianie nieudanego ruchu. Jednym ze sposobów rozliczania ponownych prób, gdy kolejka nie jest dostępna, jest metoda Extended Erlang B.

Pomiary ruchu w obwodzie telefonicznym

Wartość (która może być liczbą niecałkowitą, na przykład 43,5) używana do reprezentowania przenoszonego ruchu, po której następuje „erlangs”, reprezentuje średnią liczbę jednoczesnych połączeń przenoszonych przez obwody (lub inne elementy dostarczające usługi), gdzie ta średnia wynosi obliczone dla rozsądnego okresu czasu. Okres, dla którego obliczana jest średnia, wynosi często jedną godzinę, ale można zastosować krótsze okresy (np. 15 minut), jeżeli wiadomo, że występują krótkie skoki zapotrzebowania i pożądany jest pomiar ruchu, który nie maskuje tych skoków. Jeden erlang przenoszonego ruchu odnosi się do jednego zasobu będącego w ciągłym użyciu lub dwóch kanałów, z których każdy jest używany przez pięćdziesiąt procent czasu i tak dalej. Na przykład, jeśli w biurze jest dwóch operatorów telefonicznych, którzy są cały czas zajęci, odpowiadałoby to dwóm erlangom (2 E) ruchu; lub kanał radiowy, który jest stale zajęty w okresie zainteresowania (np. jednej godzinie) ma obciążenie 1 erlang.

W przypadku opisu oferowanego ruchu wartość, po której następuje „erlangs”, oznacza średnią liczbę jednoczesnych połączeń, które zostałyby wykonane, gdyby istniała nieograniczona liczba obwodów (to znaczy, gdyby próby połączenia wykonane, gdy wszystkie obwody były w użyciu nie został odrzucony). Relacja między ruchem oferowanym a przenoszonym zależy od konstrukcji systemu i zachowań użytkowników. Trzy popularne modele to: (a) rozmówcy, których próby połączenia zostały odrzucone, odchodzą i nigdy nie wracają, (b) rozmówcy, których próby połączenia zostały odrzucone, próbują ponownie w stosunkowo krótkim czasie oraz (c) system umożliwia użytkownikom czekać w kolejce, aż obwód stanie się dostępny.

Trzecią miarą ruchu jest ruch chwilowy , wyrażony jako pewna liczba erlangów, czyli dokładna liczba połączeń odbywających się w danym momencie. W tym przypadku liczba jest liczbą całkowitą. Urządzenia rejestrujące poziom ruchu, takie jak rejestratory z ruchomym pisakiem, kreślą chwilowy ruch.

Analiza Erlanga

Pojęcia i matematyka wprowadzone przez Agnera Krarupa Erlanga mają szerokie zastosowanie poza telefonią. Obowiązują one wszędzie tam, gdzie użytkownicy przybywają mniej lub bardziej losowo, aby otrzymać wyłączną usługę z dowolnego elementu z grupy elementów świadczących usługi bez uprzedniej rezerwacji, na przykład gdy elementami świadczącymi usługi są okienka sprzedaży biletów, toalety w samolocie lub pokoje motelowe. (Modele Erlanga nie mają zastosowania, gdy elementy świadczące usługi są współdzielone przez kilku równoczesnych użytkowników lub różne ilości usług są konsumowane przez różnych użytkowników, na przykład w obwodach przenoszących ruch danych).

Celem teorii ruchu Erlanga jest dokładne określenie, ile elementów dostarczających usługi należy zapewnić, aby usatysfakcjonować użytkowników, bez marnotrawstwa nadmiernej alokacji. Aby to zrobić, ustala się cel dla klasy usługi (GoS) lub jakości usługi (QoS). Na przykład w systemie, w którym nie ma kolejek, GoS może oznaczać, że nie więcej niż 1 połączenie na 100 jest blokowane (tj. blokowania połączeń, P _b , przy użyciu formuły Erlang B.

Istnieje kilka formuł wynikowych, w tym Erlang B , Erlang C i powiązana formuła Engset , opartych na różnych modelach zachowań użytkowników i działania systemu. Każdy z nich można wyprowadzić za pomocą specjalnego przypadku ciągłych procesów Markowa, znanego jako proces narodzin i śmierci . Nowsza Extended Erlang B zapewnia dalsze rozwiązanie ruchu, które opiera się na wynikach Erlanga.

Obliczanie oferowanego ruchu

Oferowany ruch (w erlangach) jest powiązany ze wskaźnikiem przychodzących połączeń λ i średnim czasem oczekiwania na połączenie (średnim czasem rozmowy telefonicznej), h , przez:

${\ Displaystyle E = \ lambda h}$

pod warunkiem, że h i λ są wyrażone przy użyciu tych samych jednostek czasu (sekund i połączeń na sekundę lub minut i połączeń na minutę).

Praktyczny pomiar ruchu jest zazwyczaj oparty na ciągłych obserwacjach przez kilka dni lub tygodni, podczas których chwilowy ruch jest rejestrowany w regularnych, krótkich odstępach czasu (np. co kilka sekund). Pomiary te są następnie wykorzystywane do obliczenia pojedynczego wyniku, najczęściej ruchu w godzinach szczytu (w erlangach). Jest to średnia liczba jednoczesnych połączeń w danym okresie jednej godziny w ciągu dnia, przy czym ten okres został wybrany tak, aby dawał najwyższy wynik. (Ten wynik nazywa się ruchem w godzinach szczytu zgodnym z czasem). Alternatywą jest obliczenie wartości natężenia ruchu w godzinach zajętości osobno dla każdego dnia (co może odpowiadać nieco innym godzinom każdego dnia) i wzięcie średniej z tych wartości. Zwykle daje to nieco wyższą wartość niż spójna w czasie wartość godziny zajętości.

Tam, gdzie istniejący ruch prowadzony w godzinach szczytu, E _c , jest mierzony na już przeciążonym systemie, przy znacznym poziomie blokowania, konieczne jest uwzględnienie zablokowanych połączeń przy szacowaniu oferowanego ruchu w godzinach godzin E o ( _co jest wartość ruchu do wykorzystania we wzorach Erlanga). Oferowany ruch można oszacować wzorem E _o = E _c /(1 − P _b ). W tym celu, gdy system obejmuje środki do liczenia połączeń zablokowanych i połączeń udanych, _Pb można oszacować bezpośrednio na podstawie proporcji połączeń, które są blokowane. W przeciwnym razie P _b można oszacować, stosując E _c zamiast E _o we wzorze Erlanga, a otrzymane oszacowanie P _b można następnie wykorzystać w E _o = E _c /(1 - P _b ) w celu uzyskania pierwszego oszacowania z E _o .

Inną metodą oszacowania E _o w przeciążonym systemie jest zmierzenie wskaźnika przychodzących połączeń w godzinach zajętości, λ (zliczanie połączeń udanych i zablokowanych) oraz średniego czasu wstrzymania połączeń (dla połączeń udanych), h , a następnie oszacowanie E _o używając wzoru E = λh .

W sytuacji, gdy ruch do obsługi to zupełnie nowy ruch, jedynym wyjściem jest próba modelowania oczekiwanego zachowania użytkownika. Na przykład można oszacować populację aktywnych użytkowników, N , oczekiwany poziom wykorzystania, U (liczba połączeń/transakcji na użytkownika na dzień), współczynnik koncentracji w godzinach szczytu, C (część dziennej aktywności, która spadnie w godzinach szczytu) i średni czas utrzymywania/czas obsługi, h (wyrażony w minutach). Projekcja oferowanego ruchu w godzinach szczytu byłaby wtedy E _o = NUC / 60 h erlangów. (Dzielenie przez 60 przekłada stawkę przybycia połączenia/transakcji w godzinach zajętości na wartość na minutę, aby dopasować jednostki, w których wyrażono h ).

Formuła Erlanga B

Formuła Erlanga B (lub Erlang-B z łącznikiem), znana również jako formuła Erlanga na straty , to formuła na prawdopodobieństwo zablokowania , która opisuje prawdopodobieństwo utraty połączeń dla grupy identycznych zasobów równoległych (linie telefoniczne, obwody, ruch kanały lub równoważne), czasami określane jako kolejka M/M/c/c . Służy na przykład do wymiarowania łączy sieci telefonicznej. Formuła została wyprowadzona przez Agnera Krarupa Erlanga i nie ogranicza się do sieci telefonicznych, ponieważ opisuje prawdopodobieństwo w systemie kolejkowym (chociaż jest to szczególny przypadek z wieloma serwerami, ale bez miejsca w kolejce dla połączeń przychodzących w celu oczekiwania na wolny serwer). W związku z tym formuła jest również stosowana w niektórych systemach inwentaryzacyjnych z utraconą sprzedażą.

Formuła ma zastosowanie pod warunkiem, że nieudane połączenie, ponieważ linia jest zajęta, nie jest umieszczane w kolejce ani ponawiane, ale naprawdę znika na zawsze. Zakłada się, że próby połączenia przychodzą zgodnie z procesem Poissona , więc momenty nadejścia połączenia są niezależne. Ponadto zakłada się, że długości komunikatów (czasy utrzymywania) mają rozkład wykładniczy (system Markowa), chociaż wzór okazuje się mieć zastosowanie przy ogólnych rozkładach czasu utrzymywania.

Formuła Erlang B zakłada nieskończoną populację źródeł (takich jak abonenci telefoniczni), które łącznie oferują ruch do N serwerów (takich jak linie telefoniczne). Współczynnik wyrażający częstotliwość napływania nowych połączeń, λ, (liczba urodzeń, natężenie ruchu itp.) jest stały i nie zależy od liczby aktywnych źródeł. Zakłada się, że całkowita liczba źródeł jest nieskończona. Formuła Erlanga B oblicza prawdopodobieństwo zablokowania systemu strat bez bufora, w którym żądanie, które nie zostało natychmiast obsłużone, jest przerywane, co powoduje, że żadne żądania nie są umieszczane w kolejce. Blokowanie ma miejsce, gdy nowe żądanie nadejdzie w czasie, gdy wszystkie dostępne serwery są obecnie zajęte. Formuła zakłada również, że zablokowany ruch jest usuwany i nie powraca.

Formuła zapewnia GoS ( stopień obsługi ), który jest prawdopodobieństwem P _b , że nowe połączenie przychodzące do grupy zasobów zostanie odrzucone, ponieważ wszystkie zasoby (serwery, linie, obwody) są zajęte: B ( E , m ) gdzie E jest całkowity oferowany ruch w erlang, oferowany m identycznym zasobom równoległym (serwery, kanały komunikacyjne, pasy ruchu).

${\ Displaystyle P_ {b} = B (E, m) = {\ Frac {\ Frac {E ^ {m}} {m!}} {\ suma _ {i = 0} ^ {m} {\ Frac { E^{i}}{i!}}}}}$

Gdzie:

• ${\ displaystyle P_ {b}}$ to prawdopodobieństwo zablokowania
• m to liczba identycznych zasobów równoległych, takich jak serwery, linie telefoniczne itp.
• E = λh to znormalizowane obciążenie wejściowe (oferowany ruch podany w erlang).

Uwaga: Erlang jest bezwymiarową jednostką ładunkową obliczoną jako średni wskaźnik przybycia, λ, pomnożony przez średni czas oczekiwania na połączenie, h . Zobacz prawo Little'a , aby udowodnić, że jednostka erlanga musi być bezwymiarowa, aby prawo Little'a było wymiarowo rozsądne.

Można to wyrazić rekurencyjnie w następujący sposób, w postaci używanej do uproszczenia obliczania tabel wzoru Erlanga B:

${\ Displaystyle B (E, 0) = 1. \,}$

${\ Displaystyle B (E, j) = {\ Frac {EB (E, j-1)} {EB (E, j-1) + j}} \ \ forall {j} = 1,2, \ ldots, M.}$

Zazwyczaj zamiast B ( E , m ) odwrotność 1/ B ( E , m ) jest obliczana w obliczeniach numerycznych w celu zapewnienia stabilności liczbowej :

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {B (E, 0)}} = 1}$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {B (E, j)}} = 1 + {\ Frac {j} {E}} {\ Frac {1} {B (E, j-1)}} \ \ forall {j}=1,2,\ldkropki ,m.}$

         
       
       

      
         
                 
     
        
 Funkcja  ErlangB  (  E  As  Double  ,  m  As  Integer  )  As  Double  Dim  InvB  As  Double  Dim  j  As  Integer  InvB  =  1.0  For  j  =  1  Tom  m  InvB  =  1.0  +  InvB  *  j  /  E  Next  j  ErlangB  =  1.0  /  InvB  Funkcja  końcowa  

lub wersja Pythona

  
      
       
                
        def  erlang_b  (  E  ,  m  ):  inv_b  =  1,0  dla  j  w  zakresie  (  1  ,  m  +  1  ):  inv_b  =  1,0  +  inv_b  *  j  /  E  return  1,0  /  inv_b 

Formuła Erlanga B jest malejąca i wypukła w m . Wymaga to, aby nadejścia połączeń można było modelować za pomocą procesu Poissona , który nie zawsze jest dobrym dopasowaniem, ale jest ważny dla dowolnego rozkładu statystycznego czasów utrzymywania połączeń ze skończoną średnią. Dotyczy to systemów transmisji ruchu, które nie buforują ruchu. Bardziej nowoczesnymi przykładami w porównaniu z POTS , w których Erlang B nadal ma zastosowanie, są optyczne przełączanie serii (OBS) i kilka obecnych podejść do optycznego przełączania pakietów (OPS). Erlang B został opracowany jako narzędzie do określania rozmiaru pnia dla sieci telefonicznych z czasem wstrzymania w zakresie minut, ale jako równanie matematyczne ma zastosowanie w dowolnej skali czasowej.

Rozszerzony Erlang B

Rozszerzony Erlang B różni się od klasycznych założeń Erlang-B tym, że pozwala części zablokowanych rozmówców na ponowną próbę, powodując wzrost oferowanego ruchu w stosunku do początkowego poziomu bazowego. Jest to $obliczenie$ iteracyjne niż formuła i dodaje dodatkowy parametr, współczynnik przywołania który określa próby przywołania.

Etapy procesu są następujące. Zaczyna się od iteracji $= {\ displaystyle k$ początkowym bazowym poziomem ruchu , który jest sukcesywnie $E_{k+1}$$E_{0}$ sekwencji nowych oferowanych wartości ruchu , each of which accounts for the recalls arising from the previously calculated offered traffic $E_{k}$.

1. Oblicz prawdopodobieństwo zablokowania dzwoniącego przy pierwszej próbie

${\ Displaystyle P_ {b} = B (E_ {k}, m) \,}$

jak wyżej dla Erlanga B.

2. Oblicz prawdopodobną liczbę zablokowanych połączeń

${\ Displaystyle B_ {e} = E_ {k} P_ {b} \,}$

$\ displaystyle R_ {f}}$ Oblicz liczbę przywołań, $zakładając$ stały współczynnik przywołania, R

${\ Displaystyle R = B_ {e} R_ {f} \,}$

4. Oblicz nowy oferowany ruch

${\ Displaystyle E_ {k + 1} = E_ {0} + R \,}$

gdzie $jest$ (bazowym) poziomem ruchu.

$5.$$iteruj$ kroku 1 $zastępując$ i uzyskasz stabilną

$znalezieniu$ zadowalającej wartości zablokowania $,$ że ​​​​wszystkie próby dzwoniącego zostaną utracone, a nie tylko ich pierwsze wywołanie, ale także wszelkie kolejne próby.

Formuła Erlanga C

Formuła Erlang C wyraża prawdopodobieństwo, że przybywający klient będzie musiał ustawić się w kolejce (w przeciwieństwie do natychmiastowej obsługi). Podobnie jak formuła Erlang B , Erlang $C$$zakłada$ nieskończoną populację źródeł, które łącznie oferują ruch erlangów do Jeśli jednak wszystkie serwery są zajęte, gdy żądanie nadejdzie ze źródła, żądanie zostanie umieszczone w kolejce. W ten sposób w kolejce może znajdować się jednocześnie nieograniczona liczba żądań. Formuła ta oblicza prawdopodobieństwo kolejkowania oferowanego ruchu przy założeniu, że zablokowane połączenia pozostają w systemie do momentu ich obsługi. Ta formuła służy do określenia liczby agentów lub przedstawicieli obsługi klienta potrzebnych do obsadzenia call center dla określonego pożądanego prawdopodobieństwa kolejkowania. Jednak formuła Erlang C zakłada, że ​​dzwoniący nigdy nie odkładają słuchawki w kolejce, co sprawia, że ​​formuła przewiduje, że należy użyć większej liczby agentów, niż jest to rzeczywiście potrzebne do utrzymania pożądanego poziomu usług.

${\ Displaystyle P_ {w} = {{{\ Frac {E ^ {m}} {m!}} {\ Frac {m} {mE}}} \ nad \ lewo (\ suma \ limity _ {i=0}^{m-1}{\frac {E^{i}}{i!}}\right)+{\frac {E^{m}}{m!}}{\frac {m }{Ja}}}\,}$

Gdzie:

• ${\ displaystyle E}$ to całkowity ruch oferowany w jednostkach erlangów
• ${\ displaystyle m}$ to liczba serwerów
• ${\ displaystyle P_ {w}}$ to prawdopodobieństwo, że klient musi czekać na obsługę.

Przyjęto, że nadejścia połączeń można modelować za pomocą procesu Poissona , a czasy podtrzymania połączeń są opisane rozkładem wykładniczym .

Ograniczenia wzoru Erlanga

Kiedy Erlang opracował równania ruchu Erlang-B i Erlang-C, zostały one opracowane na podstawie zestawu założeń. Założenia te są dokładne w większości warunków; jednak w przypadku bardzo dużego natężenia ruchu równania Erlanga nie pozwalają dokładnie przewidzieć prawidłowej liczby obwodów wymaganych z powodu ruchu powracającego. Nazywa się to systemem o dużych stratach , w którym zatory powodują dalsze zatory w godzinach szczytu. W takich przypadkach konieczne jest przede wszystkim udostępnienie wielu dodatkowych obwodów, aby można było zniwelować duże straty. Po podjęciu tego działania przeciążenie powróci do rozsądnego poziomu, a równania Erlanga będą mogły zostać wykorzystane do określenia, ile dokładnie obwodów jest naprawdę potrzebnych.

Przykładem przypadku, który spowodowałby rozwój takiego systemu dużych strat, byłaby sytuacja, w której reklama telewizyjna ogłaszałaby konkretny numer telefonu, pod który należy zadzwonić w określonym czasie. W takim przypadku duża liczba osób zadzwoniłaby jednocześnie pod podany numer. Gdyby usługodawca nie zaspokoił tego nagłego szczytowego zapotrzebowania, rozwinie się ekstremalne natężenie ruchu i nie będzie można zastosować równań Erlanga.

Zobacz też

• Wydajność widmowa systemu (omówienie pojemności sieci komórkowej w Erlang/MHz/ogniwo)
• AK Erlang
• Centrum telefoniczne
• Symulacja zdarzeń dyskretnych
• Formuła Ensset
• Język programowania Erlang
• Dystrybucja Erlanga
• Prawo Little'a
• Rozkład Poissona
• Mieszanka ruchu

Dalsza lektura

• „Rozwiązanie niektórych problemów z teorii prawdopodobieństw istotności w automatycznych centralach telefonicznych” (PDF) . Elektrotkarki . 13 : 5. 1917. Zarchiwizowane od oryginału (PDF) w dniu 19 lipca 2011 r.