Esej na temat rozwiązania problemu w doktrynie szans

Esej ku rozwiązaniu problemu w doktrynie szans to praca nad matematyczną teorią prawdopodobieństwa autorstwa Thomasa Bayesa , opublikowana w 1763 roku, dwa lata po śmierci autora, zawierająca liczne poprawki i uzupełnienia spowodowane przez jego przyjaciela Richarda Price'a . Tytuł pochodzi od współczesnego użycia wyrażenia „doktryna przypadku” na oznaczenie teorii prawdopodobieństwa, która została wprowadzona tytułem książki Abrahama de Moivre . Współczesne przedruki Eseju noszą bardziej konkretny i znaczący tytuł: Metoda obliczania dokładnego prawdopodobieństwa wszystkich wniosków opartych na indukcji .

Esej zawiera twierdzenia o prawdopodobieństwie warunkowym , które stanowią podstawę tego, co obecnie nazywa się twierdzeniem Bayesa , wraz ze szczegółowym omówieniem problemu ustalenia prawdopodobieństwa a priori .

Bayes zakładał sekwencję niezależnych eksperymentów, z których każdy kończy się sukcesem lub porażką, przy czym prawdopodobieństwo sukcesu jest pewną liczbą p z przedziału od 0 do 1. Ale potem założył, że p jest wielkością niepewną, której prawdopodobieństwo mieści się w dowolnym przedziale między 0 i 1 to długość przedziału. Współcześnie p byłoby uważane za zmienną losową o rozkładzie równomiernym między 0 a 1. Warunkowo od wartości p , próby zakończone sukcesem lub porażką są niezależne, ale bezwarunkowo (lub „ marginalnie ”) nie są. To dlatego, że jeśli obserwuje się dużą liczbę sukcesów, to p jest bardziej prawdopodobne, że będzie duże, więc sukces w następnej próbie jest bardziej prawdopodobny. Pytanie, na które odpowiedział Bayes, brzmiało: jaki jest warunkowy rozkład prawdopodobieństwa p , biorąc pod uwagę liczbę dotychczasowych sukcesów i porażek. Odpowiedź brzmi, że jego funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest

${\ Displaystyle f (p) = {\ Frac {(n + 1)!} {k! (nk)!}} p ^ {k} (1 -p)^{nk}{\text{ for }}0\równoważnik p\równik 1}$

(i ƒ ( p ) = 0 dla p < 0 lub p > 1) gdzie k to liczba dotychczas zaobserwowanych sukcesów, a n to liczba dotychczas zaobserwowanych prób. To właśnie nazywa się dziś rozkładem Beta z parametrami k + 1 i n - k + 1.

Zarys

Wstępne wyniki Bayesa dotyczące prawdopodobieństwa warunkowego (zwłaszcza Twierdzenia 3, 4 i 5) implikują prawdziwość twierdzenia, które zostało nazwane jego imieniem. Stwierdza on: „Jeśli są dwa kolejne zdarzenia, prawdopodobieństwo drugiego b/N i prawdopodobieństwo obu razem P/N, i najpierw odkryto, że drugie zdarzenie również się wydarzyło, stąd przypuszczam, że pierwsze zdarzenie też się wydarzyło, prawdopodobieństwo, że mam rację, wynosi P/b”. . Symbolicznie oznacza to (patrz Stigler 1982):

${\ Displaystyle P (B \ mid A) = {\ Frac {P (A \ cap B)} {P (A)}},{\tekst{jeśli }}P(A)\neq 0,}$

co prowadzi do twierdzenia Bayesa dla prawdopodobieństw warunkowych:

${\ Displaystyle \ Rightarrow P (A \ mid B) = {\ Frac {P ( B\mid A)\,P(A)}{P(B)}},{\text{if }}P(B)\neq 0.}$

Jednak nie wydaje się, aby Bayes podkreślał lub skupiał się na tym odkryciu. Skupił się raczej na znalezieniu rozwiązania znacznie szerszego problemu wnioskowania:

„Biorąc pod uwagę liczbę przypadków, w których nieznane zdarzenie miało miejsce i zakończyło się niepowodzeniem [... Znajdź] prawdopodobieństwo, że prawdopodobieństwo jego wystąpienia w pojedynczej próbie leży gdzieś pomiędzy dowolnymi dwoma stopniami prawdopodobieństwa, które można nazwać”.

Esej zawiera przykład mężczyzny, który próbuje odgadnąć stosunek „pustych” i „nagród” na loterii. Do tej pory mężczyzna obserwował, jak na loterii wylosowano dziesięć pustych miejsc i jedną nagrodę. Biorąc pod uwagę te dane, Bayes szczegółowo pokazał, jak obliczyć prawdopodobieństwo, że stosunek pustych miejsc do nagród mieści się w przedziale od 9:1 do 11:1 (prawdopodobieństwo jest niskie - około 7,7%). Następnie opisał te obliczenia po tym, jak mężczyzna obserwował losowanie na loterii dwudziestu pustych miejsc i dwóch nagród, czterdziestu pustych miejsc i czterech nagród i tak dalej. Ostatecznie, po wylosowaniu 10 000 blanków i 1000 nagród, prawdopodobieństwo sięga około 97%.

Główny wynik Bayesa (Twierdzenie 9) jest następujący w kategoriach współczesnych:

Załóżmy równomierny wcześniejszy rozkład parametru dwumianowego ${\ displaystyle p}$ . Po $zaobserwowaniu$ i $_$ ,

${\ Displaystyle P (a < p <b \ mid m; n) = {\ Frac {\ int _ {a} ^ {b} {n + m \ wybierz m} p ^ {m} (1-p) ^ {n}\,dp}{\int _{0}^{1}{n+m \choose m}p^{m}(1-p)^{n}\,dp}}.}$

Nie jest jasne, czy Bayes był „bayesistą” we współczesnym tego słowa znaczeniu. To znaczy, czy interesował go wnioskowanie bayesowskie , czy tylko prawdopodobieństwo . Twierdzenie 9 wydaje się „bayesowskie” w swojej prezentacji jako prawdopodobieństwo dotyczące parametru p $\ displaystyle p}$ . Jednak Bayes sformułował swoje pytanie w sposób sugerujący częsty punkt widzenia: przypuszczał, że piłka jest rzucana losowo na kwadratowy stół (ten stół jest często błędnie przedstawiany jako stół bilardowy, a piłka jako kula bilardowa, ale Bayes nigdy nie $które$ , spadają na lewo lub na prawo od pierwszej $z$ i Algebra jest oczywiście identyczna niezależnie od przyjętego poglądu.

Richard Price i istnienie Boga

Richard Price odkrył esej Bayesa i jego słynne twierdzenie w dokumentach Bayesa po jego śmierci. Uważał, że twierdzenie Bayesa pomogło udowodnić istnienie Boga („Bóstwa”) i we wstępie do eseju napisał:

„Celem, jaki mam na myśli, jest pokazanie, jakie mamy powody, by wierzyć, że w konstytucji rzeczy istnieją niezmienne prawa, zgodnie z którymi rzeczy się dzieją, a zatem konstrukcja świata musi być efektem mądrości i mocy rozumnej przyczyny, a tym samym potwierdzić argument wzięty z ostatecznych przyczyn istnienia Bóstwa. Łatwo będzie zauważyć, że odwrotny problem rozwiązany w tym eseju ma bardziej bezpośrednie zastosowanie do tego celu, ponieważ pokazuje nam, z wyrazistości i precyzji, w każdym przypadku określonego porządku lub powtarzalności zdarzeń, jaki jest powód, by sądzić, że taka powtarzalność lub porządek wywodzi się ze stałych przyczyn lub przepisów w przyrodzie, a nie z jakichkolwiek nieregularności przypadku”. ( Transakcje filozoficzne Towarzystwa Królewskiego w Londynie , 1763)

Współcześnie jest to przykład argumentu teleologicznego .

Wersje eseju

• Bayes, panie; Cena, panie (1763). „Esej na temat rozwiązania problemu w doktrynie szans. Nieżyjący już wielebny Bayes, FRS, przekazany przez pana Price'a, w liście do Johna Cantona, AMFR S” (PDF ) . Transakcje filozoficzne Royal Society of London . 53 : 370–418. doi : 10.1098/rstl.1763.0053 .
• Barnard, GA (1958). „Studia z historii prawdopodobieństwa i statystyki: Ix. Esej Thomasa Bayesa w kierunku rozwiązania problemu w doktrynie szans”. Biometria . 45 (3–4): 293–295. doi : 10.1093/biomet/45.3-4.293 .
• Thomas Bayes „Esej w kierunku rozwiązania problemu w doktrynie szans” . (Esej Bayesa w oryginalnej notacji)

Komentarze

• GA Barnard (1958) „Studia z historii prawdopodobieństwa i statystyki: IX. Esej Thomasa Bayesa w kierunku rozwiązania problemu w doktrynie szans”, Biometrika 45: 293–295. (notatki biograficzne)
• Stephena M. Stiglera (1982). „Wnioskowanie bayesowskie Thomasa Bayesa”, Journal of the Royal Statistical Society , seria A, 145: 250–258. (Stigler opowiada się za poprawioną interpretacją eseju; zalecane)
• Izaaka Todhuntera (1865). Historia matematycznej teorii prawdopodobieństwa od czasów Pascala do Laplace'a , Macmillan. Przedruk 1949, 1956 przez Chelsea i 2001 przez Thoemmesa.

Linki zewnętrzne

• Esej na temat rozwiązania problemu w doktrynie szans w Internet Archive
• Esej na temat rozwiązania problemu w doktrynie szans na Wydziale Statystyki UCLA