Falka ortogonalna

Falka ortogonalna to falka , której powiązana transformata falkowa jest ortogonalna . Oznacza to, że odwrotna transformata falkowa jest sprzężeniem z transformatą falkową. Jeśli ten warunek zostanie osłabiony, może dojść do powstania falek biortogonalnych .

Podstawy

Funkcja skalowania jest funkcją, którą można udoskonalić . Oznacza to, że jest to fraktalne równanie funkcyjne , zwane równaniem uściślenia ( relacja bliźniacza lub równanie dylatacji ):

${\ Displaystyle \ phi (x) = \ suma _ {k = 0} ^ {N-1} a_ {k} \ phi ( 2x-k)}$ ,

$_$ sekwencja sekwencją _ _ Właściwa falka jest uzyskiwana przez podobną kombinację liniową,

${\ Displaystyle \ psi (x) = \ suma _ {k = 0} ^ {M-1} b_ {k} \ phi ( 2x-k)}$ ,

$_$ sekwencja sekwencją

Warunkiem koniecznym ortogonalności falek jest to, aby sekwencja skalowania była ortogonalna do wszelkich jej przesunięć o parzystą liczbę współczynników:

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ w \ mathbb {Z}} a_ {n} a_ {n + 2 m} = 2 \ delta _ {m, 0}}$ ,

gdzie ${\ Displaystyle \ delta _ {m, n}}$ to delta Kroneckera .

W tym przypadku jest taka sama liczba M = N współczynników w skalowaniu jak w sekwencji falkowej, sekwencję falkową można określić jako ${\ displaystyle b_ {n} =(-1)^{n}a_{N-1-n}}$ . W niektórych przypadkach wybiera się przeciwny znak.

Znikające momenty, aproksymacja wielomianowa i gładkość

Warunkiem koniecznym istnienia rozwiązania równania uściślenia jest istnienie dodatniej liczby całkowitej A takiej, że (patrz transformacja Z ):

${\ Displaystyle (1 + Z) ^ {A} | a (Z): = a_ {0} + a_ {1} Z + \ kropki + a_ {N-1} Z ^ {N-1}.}$

Maksymalna możliwa potęga A nazywana jest wielomianowym rzędem aproksymacji (lub pol. app. power) lub liczbą znikających momentów . Opisuje zdolność do reprezentowania wielomianów do stopnia A -1 za pomocą liniowych kombinacji całkowitoliczbowych tłumaczeń funkcji skalującej.

${\ Displaystyle {\ tylda {\ psi}}}$ przypadku biortogonalnym, rząd przybliżenia odpowiada zanikającym momentom falki podwójnej A $Displaystyle$ czyli iloczynom skalarnym ${\ tylda {\ psi}}}$ z dowolnym wielomianem do stopnia A-1 wynosi zero. W przeciwnym kierunku kolejność aproksymacji à ϕ $}}$ jest równoważne z znikającymi momentami ${\ displaystyle \ psi}$ . W przypadku ortogonalnym A i à pokrywają się.

Wystarczającym warunkiem istnienia funkcji skalującej jest następująca: za ${\ Displaystyle a (Z) = 2 ^ {1-$ i oszacowanie

${\ Displaystyle 1 \ równoważnik \ sup _ {t \ w [0,2 \ pi]} \ lewo | p (e ^ {to}) \ prawo | <2 ^ {A-1 -N},}$

zachodzi dla pewnego $razy$ to równanie udoskonalenia ma n różniczkowalne ze zwartym wsparciem.

Przykłady

• Załóżmy, że ${\ Displaystyle p (Z) = 1}$ to ${\ Displaystyle a (Z) = 2 ^ {1-A} (1 +Z)^{A}}$ , a oszacowanie zachodzi dla n = A -2. Rozwiązania to B-sklejane Schoenberga rzędu A -1, gdzie ( A -1)-ta pochodna jest fragmentarycznie stała, stąd ( A -2)-ta pochodna jest ciągła Lipschitza . A =1 odpowiada funkcji indeksu przedziału jednostkowego.

• A =2 i p liniowe można zapisać jako

${\ Displaystyle a (Z) = {\ Frac {1} {4}} (1 + Z) ^ {2} ((1 + Z) + c (1-Z)).}$

$3$ i wstawienie 4 współczynników do warunku ortogonalności daje w wyniku falki D4, patrz poniżej .

• Ingrid Daubechies : Dziesięć wykładów na temat falek , SIAM 1992.
• proc. Pierwsze sympozjum NJIT na temat falek, podpasm i transformacji, kwiecień 1990 r.