Funkcja rafinacji

W matematyce , w obszarze analizy falkowej , funkcją rafinowalną jest funkcja, która spełnia pewnego rodzaju samopodobieństwo . Funkcja nazywa się rafinowalną w odniesieniu do maski, $\ displaystyle$ φ $\ varphi }$

${\ Displaystyle \ varphi (x) = 2 \ cdot \ suma _ {k = 0} ^ {N-1} h_{k}\cdot \varphi (2\cdot xk)}$

Warunek ten nazywany jest równaniem udokładnienia , równaniem dylatacji lub równaniem dwuskalowym .

Używając splotu (oznaczonego gwiazdką *) funkcji z dyskretną maską i operatorem dylatacji, można napisać bardziej zwięźle: ${\ displaystyle D}$

${\ Displaystyle \ varphi = 2 \ cdot D_ {1/2} (h * \ varphi)}$

Oznacza to, że ponownie uzyskuje się funkcję, jeśli skręcisz funkcję z dyskretną maską, a następnie zmniejszysz ją. Istnieje podobieństwo do iterowanych układów funkcyjnych i krzywych de Rhama .

Operator $_$ _ Funkcja rafinowalna jest funkcją własną tego operatora. Jego wartość bezwzględna nie jest jednoznacznie określona. Oznacza to, że jeśli $dopracowaną$ , to dla każdej $Displaystyle$ do $c \ cdot \ varphi}$ jest również rafinowalny.

Funkcje te odgrywają fundamentalną rolę w teorii falkowej jako funkcje skalujące .

Nieruchomości

Wartości w punktach całkowych

Funkcja dająca się udoskonalić jest zdefiniowana tylko niejawnie. Może się również zdarzyć, że istnieje kilka funkcji, które można udoskonalić w odniesieniu do tej samej maski. Jeśli $wsparcie$ i pożądane są wartości funkcji przy argumentach całkowitych, to równanie dwóch skali staje się układem równoczesnych równań liniowych .

Niech będzie $indeksem$ i maksymalnym indeksem niezerowych elementów $a}$ to otrzymamy za { $displaystyle$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} \ varphi (a) \\\ varphi (a + 1) \\\ vdots \\\ varphi (b) \ koniec {pmatrix}} = {\ rozpocząć {pmatrix} h_ {a }&&&&&\\h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&&&\\h_{a+4}&h_{a+3}&h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a }&\\\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}&h_{b-3}&h_{b-4 }\\&&&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}\\&&&&&h_{b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varphi (a)\\\varphi (a+1 )\\\vdots \\\varphi (b)\end{pmatrix}}.}$$

Używając operatora dyskretyzacji , nazwij to tutaj, a macierz transferu o nazwie , $można$ zwięźle zapisać jako $}$$\ displaystyle T_ {h$

$${\ Displaystyle Q \ varphi = T_ {h} Q \ varphi.}$$

To znowu jest równanie punktu stałego . Ale ten problem można teraz traktować jako wektor własny - problem wartości własnej . Oznacza to, że skończenie obsługiwana rafinowalna funkcja istnieje tylko (ale niekoniecznie), jeśli ma wartość własną 1. ${\ displaystyle T_ {h}}$

Wartości w punktach diadycznych

Z wartości w punktach całkowitych można wyprowadzić wartości w punktach diadycznych, tj. punktach postaci ${\ Displaystyle k \ cdot 2 ^ {- j}}$ , gdzie ${\ Displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}$ i ${\ Displaystyle j \ w \ mathbb {N}}$ .

${\ Displaystyle \ varphi = D_ {1/2} (2 \ cdot (h * \ varphi)}}$

${\ Displaystyle D_ {2} \ varphi = 2 \ cdot (h * \ varphi)}$

${\ Displaystyle Q (D_ {2} \ varphi) = Q (2 \ cdot (h * \ varphi)) = 2 \ cdot (h * Q \ varphi)}$

Gwiazda oznacza splot dyskretnego filtra z funkcją. W tym kroku możesz obliczyć wartości w punktach postaci ${\ displaystyle {\ frac {k} {2}}}$ . Zastępując iteracyjne przez ${\ displaystyle \ varphi}$ przez ${\ displaystyle D_ {2} \ varphi}$ otrzymujesz wartości we wszystkich drobniejszych skalach.

$${\ Displaystyle Q (D_ {2 ^ {j + 1}} \ varphi) = 2 \ cdot (h * Q ( D_{2^{j}}\varphi })}$$

Skręt

Jeśli $\ Displaystyle \ varphi}$$\ Displaystyle \ varphi * \ psi }$ udoskonalić w odniesieniu do i $można udoskonalić w$$odniesieniu$ do $∗$ to sol można dopracować w odniesieniu do ${\ displaystyle h * g}$ .

Różnicowanie

Jeśli $udoskonalić w$$można$ do $\ varphi}$ a pochodna istnieje, to udoskonalić w odniesieniu do ${\ Displaystyle 2 \ cdot h}$$displaystyle$ . Można to interpretować jako szczególny przypadek własności splotu, gdzie jeden z operandów splotu jest pochodną impulsu Diraca .

Integracja

φ ${\ Displaystyle \ varphi}$ jest dopracowalny w odniesieniu do $Phi (t) = \ int _ {0}^ {t} \ varphi (\ tau ) \, \ operatorname {d} \ tau} , a następnie funkcja pierwotna t ↦ Φ ( t$ istnieje funkcja pierwotna $\ Phi}$$Displaystyle$${\ textstyle$ \ ) $\ Phi (t)+c}$$,$${\ textstyle c \ cdot \ lewo (1- \ suma _ {j} h_ {j} \ prawej) = \ suma _ {j} h_ {j} \ cdot \ Phi (- j)}$$)$ odniesieniu do stała spełniać .

Jeśli $ograniczone$ wsparcie , to możemy interpretować całkowanie jako splot z funkcją Heaviside'a i zastosować prawo splotu .

Produkty skalarne

Obliczanie iloczynów skalarnych dwóch udoskonalalnych funkcji i ich translacji można podzielić na dwie powyższe właściwości. Niech $operatorem$ translacji. Zawiera

$${\ Displaystyle \ langle \ varphi, T_ {k} \ psi \ rangle = \ langle \ varphi * \psi ^{*},T_{k}\delta \rangle =(\varphi *\psi ^{*})(k)}$$

gdzie $jest$ sprzężeniem ze splotem , tj. jest i złożoną wersją $\ Displaystyle \$$*}}$ psi { ψ ${\ Displaystyle \ psi}$ , tj. ${\ overline {\ psi (-t)}}}$ .

$i$ powyższą właściwość udoskonalić w odniesieniu do $.$ wartości można obliczyć jako wektory własne macierzy przenoszenia. Pomysł ten można łatwo uogólnić na całki iloczynów więcej niż dwóch udoskonalalnych funkcji.

Gładkość

Funkcja dająca się udoskonalić ma zazwyczaj kształt fraktalny. Projekt ciągłych lub gładkich funkcji rafinowalnych nie jest oczywisty. Przed przystąpieniem do wymuszania gładkości konieczne jest zmierzenie gładkości funkcji rafinowalnych. Za pomocą maszyny Villemoesa można obliczyć gładkość funkcji udoskonalalnych w postaci wykładników Sobolewa .

$($ pierwszym kroku maska ​​wyrafinowania $na$ , $jest$ potęgą współczynnika gładkości to jest maska ​​​​dwumianowa) i reszta ${\ displaystyle q}$ . Mówiąc z grubsza, maska ​​​​dwumianowa $displaystyle$ gładkość i $q}$ reprezentuje składnik fraktalny, który ponownie zmniejsza gładkość. Teraz wykładnik Sobolewa jest mniej $∗ {\$ rzędu minus logarytm promienia widmowego T $}$ .

Uogólnienie

Koncepcję funkcji dających się udoskonalić można uogólnić na funkcje więcej niż jednej zmiennej, to znaczy funkcje od ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d} \ do \ mathbb {R}}$ . Najprostsze uogólnienie dotyczy iloczynów tensorowych . Jeśli i $}$$\ displaystyle g}$$varphi$ i można $je$ udoskonalić w odniesieniu odpowiednio do i , to ${\ Displaystyle \ varphi \ otimes \ psi}$ można dopracować w odniesieniu do ${\ displaystyle h \ otimes g}$ .

Schemat można jeszcze bardziej uogólnić na różne współczynniki skalowania w odniesieniu do różnych wymiarów lub nawet na mieszanie danych między wymiarami. Zamiast skalowania przez współczynnik skalarny, taki jak 2 sygnał, współrzędne są przekształcane przez macierz $całkowitych$ . Aby schemat działał, wartości bezwzględne wszystkich wartości własnych $być$ większe niż jeden. (Może wystarczy też, że ${\ Displaystyle \ lewo | \ det M \ prawo |> 1}$ .)

Formalnie równanie dwuskalowe nie zmienia się zbytnio:

$${\ Displaystyle \ varphi (x) = \ lewo | \ det M \ prawo | \ cdot \ suma _ {k \ w \ mathbb {Z} ^ {d}}h_{k}\cdot \varphi (M\cdot xk)}$$

$${\ Displaystyle \ varphi = \ lewo | \ det M \ prawo | \ cdot D_ {M ^ {- 1}} (h * \ varphi)}$$

Przykłady

• Jeśli definicja zostanie rozszerzona na rozkłady , to impuls Diraca można udoskonalić w odniesieniu do wektora jednostkowego $delta$ znanego jako Kroneckera . n ${\ displaystyle n}$ -ta pochodna rozkładu Diraca jest udoskonalona w odniesieniu do $^ {n} \ cdot \ delta}$ .
• Funkcję Heaviside można udoskonalić w odniesieniu do ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ cdot \ delta}$ .
• Obcięte funkcje potęgowe z wykładnikiem $można$ udoskonalić w odniesieniu do $+ 1}}} \ cdot \ delta}$ .
• Funkcja trójkątna jest funkcją, którą można udoskonalić. Funkcje B-sklejane $udoskonalić$ kolejnymi ze względu na twierdzenie o splotach i możliwość uszczegółowienia funkcji charakterystycznej dla przedziału ( funkcja boxcar
• Wszystkie funkcje wielomianowe można udoskonalić. Dla każdej maski uściślenia istnieje wielomian, który jest jednoznacznie zdefiniowany aż do stałego współczynnika. Dla każdego wielomianu stopnia $istnieje$ masek wyrafinowania, z których wszystkie różnią się maską typu ${\ Displaystyle v * (1, -1) ^ {n + 1}}$ dla dowolnej maski $splotowej$ mocy ${\ Displaystyle (1, -1) ^ {n + 1}}$ .
• Funkcję wymierną można udoskonalić wtedy i tylko wtedy $,$ gdy można ją przedstawić za pomocą ułamków cząstkowych jako ${\ Displaystyle \ varphi (x)$ k $\ displaystyle k}$ jest dodatnią liczbą naturalną i ${\ displaystyle s}$ to rzeczywista sekwencja ze skończenie wieloma niezerowymi elementami ( wielomian Laurenta ) taka, że ${\ Displaystyle s | (s \ górna część 2)}$ (czytaj: ${\ Displaystyle \ istnieje h (z) \ in \ mathbb {R} [z, z ^ {-1}] \ h (z) \ cdot s (z) = s (z ^ {2})})$ . $_$ Laurenta _

Zobacz też

• Schemat podziału