Matryca transferu

Ten artykuł dotyczy macierzy przenoszenia w teorii falkowej. Aby zapoznać się z macierzą transferu w systemach sterowania, zobacz macierz funkcji transferu . Aby zapoznać się z metodą macierzy przenoszenia w fizyce statystycznej, zobacz Metoda macierzy przenoszenia . Aby zapoznać się z metodą matrycy transferowej w optyce, zobacz Metoda matrycy transferowej (optyka) . Aby zapoznać się z macierzą przenoszenia w teorii systemów dynamicznych, zobacz Operator przenoszenia . W przypadku pojedynczego skalara zobacz Współczynnik przenoszenia (ujednoznacznienie) .

W matematyce stosowanej macierz przenoszenia jest sformułowaniem w postaci macierzy blokowej-Toeplitza równania dwuskalowego, które charakteryzuje funkcje, które można udoskonalić . Funkcje rafinowalne odgrywają ważną rolę w falkowej i teorii elementów skończonych .

Dla maski , $} styl wyświetlania T_{h}}$ jest wektorem z indeksami składowymi od do ${\ displaystyle$$b}$$,$ macierzą przenoszenia , nazywamy ją $h$ tutaj jest zdefiniowany jako

${\ Displaystyle (T_ {h}) _ {j, k} = h_ {2 \ cdot jk}.}$

Bardziej gadatliwie

${\ Displaystyle T_ {h} = {\ rozpocząć {pmatrix} h_ {a} &&&&& \\ h_ {a + 2} & h_ {a + 1} & h_ {a} &&& \\ h_ {a + 4} & h_ {a + 3}&h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&\\\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\&h_{b}&h_{b-1} &h_{b-2}&h_{b-3}&h_{b-4}\\&&&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}\\&&&&&h_{b}\end{pmatrix}}.}$

Efekt można wyrazić za pomocą operatora próbkowania w dół " ${\ Displaystyle \ downarrow}$ ": ${\ displaystyle T_ {h} }$

${\ Displaystyle T_ {h} \ cdot x = (h * x) \ strzałka w dół 2.}$

Nieruchomości

• ${\ Displaystyle T_ {h} \ cdot x = T_ {x} \ cdot h}$ .
• Jeśli usuniesz pierwszą i ostatnią kolumnę i przesuniesz kolumny z indeksami nieparzystymi w lewo, a kolumny z indeksami parzystymi w prawo, otrzymasz transponowaną macierz Sylwestra .
• Wyznacznik macierzy przenoszenia jest zasadniczo wypadkową.

Dokładniej:

Niech będą parzystymi indeksowanymi współczynnikami ${\ displaystyle h}$$mi$ ( $operatorname {e} {\ displaystyle h} e} }) _ {k} = h_ {2k}}$ ) i niech $h o$ nieparzystymi indeksowanymi współczynnikami $displaystyle h}$ ( ${\ Displaystyle (h _ {\ operatorname {o}}) _ {k} = h_ {2k + 1}})$ .

Wtedy ${\ Displaystyle \ det T_ {h} = (-1) ^ {\ lfloor {\ Frac {ba + 1} {4}} \ rfloor} \ cdot h_ {a} \ cdot h_ {b} \ cdot \ mathrm {res} ( h _ {\ operatorname {e}}, h _ {\ operatorname {o}})}$ , gdzie ${\ Displaystyle \ operatorname {res}}$ jest wypadkową .

To połączenie pozwala na szybkie obliczenia z wykorzystaniem algorytmu Euklidesa .

• Dla śladu macierzy przenoszenia splecionych masek zachodzi

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} ~ T_ {g * h} = \ operatorname {tr} ~ T_ {g} \ cdot \ operatorname {tr} ~ T_ {h}} Dla$

• wyznacznika macierzy przenoszenia złożonej maski zawiera

${\ Displaystyle \ det T_ {g * h} = \ det T_ {g} \ cdot \ det T_ {h}\cdot \mathrm {res} (g_{-},h)}$

gdzie ${\ Displaystyle g_ {-}}$ oznacza maskę z naprzemiennymi znakami, tj. ${\ Displaystyle (g_ {-}) _ {k} = (-1) ^ { k}\cdot g_{k}}$ .

• T ${\ Displaystyle T_ {h} \ cdot x = 0}$ , to $* h} \ cdot (g_ {-} * x)=0}$ .

Jest to konkrecja powyższej właściwości wyznacznika. $liczbie$$pojedynczej,$ wiadomo, że w ilekroć jest . Ta właściwość $h}}$$*$ ∗ h { \ .

• jeśli ${\ Displaystyle x}$ jest wektorem własnym ${\ Displaystyle T_ {h}}$ w odniesieniu do wartości własnej ${\ Displaystyle \ lambda}$ , tj.

${\ Displaystyle T_ {h} \ cdot x = \ lambda \ cdot x}$ ,

wtedy ${\ Displaystyle x * (1, -1)}$ jest wektorem własnym ${\ Displaystyle T_ {h * (1,1)}}$ w odniesieniu do tej samej wartości własnej, tj.

${\ Displaystyle T_ {h * (1,1)} \ cdot (x * (1, -1)) = \ lambda \ cdot (x * (1, -1))}$ .

• Niech ${\ Displaystyle \ lambda _ {a} \ kropki \ lambda _ {b}}$ być wartościami własnymi ${\ Displaystyle T_ {h}}$ , co implikuje ${\ Displaystyle \ lambda _ {a} + \ kropki + \ lambda _ {b} = \ operatorname {tr} ~ T_ {h}} i bardziej$ ogólnie ${\ Displaystyle \ lambda _ {a} ^ {n} + \ kropki + \ lambda _ {b} ^ {n} = \ operatorname {tr} (T_ {h} ^ {n})}$ . Ta suma jest przydatna do oszacowania promienia widmowego ${\ Displaystyle T_ {h}}$ . Istnieje alternatywna możliwość obliczenia sumy potęg wartości własnych, która jest szybsza $dla$ .

Niech do ${\ Displaystyle C_ {k} h}$ będzie periodyzacją $\ displaystyle h}$ w odniesieniu do okresu ${\ Displaystyle 2 ^ {k} -1}$ . To znaczy $klasami$ , co oznacza, że ​​indeksy składowych są reszt w odniesieniu do modułu $-1}$ . $_$ z operatorem upsamplingu zachowuje

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} (T_ {h} ^ { n})=\left(C_{k}h*(C_{k}h\uparrow 2)*(C_{k}h\uparrow 2^{2})*\cdots *(C_{k}h\uparrow 2^{n-1})\right)_{[0]_{2^{n}-1}}}$

Właściwie nie $konieczne$$n-2}$ , ale tylko strategii wydajnego obliczania potęg. Co więcej, podejście można jeszcze bardziej przyspieszyć, stosując szybką transformatę Fouriera .

• Z poprzedniego stwierdzenia możemy wyprowadzić oszacowanie promienia widmowego ϱ $\ Displaystyle \ varrho (T_ {h})}$ . Posiada

$}}}}$

${\ Displaystyle \ varrho (T_ {h}) \ geq {\ Frac {a} {\ sqrt {\ # h}}} \ geq {\ Frac {1} {\ sqrt {3 \ cdot$

gdzie jest rozmiarem filtra i jeśli wszystkie wartości własne są rzeczywiste, prawdą jest również, że $ϱ$

$\ displaystyle \varrho (T_{h})\leq a}$ ,

gdzie ${\ Displaystyle a = \ Vert C_ {2} h \ Vert _ {2}}$ .

Zobacz też

• wyznacznik Hurwitza

• Dziwne, Gilbert (1996). „Wartości $”$ algorytmu Transakcje IEEE dotyczące przetwarzania sygnałów . 44 : 233–238. doi : 10.1109/78.485920 .
• Thielemann, Henning (2006). Optymalnie dopasowane falki (praca doktorska). (zawiera dowody powyższych właściwości)