Coiflet

Coiflet z dwoma znikającymi momentami

Coiflety to dyskretne falki zaprojektowane przez Ingrid Daubechies na prośbę Ronalda Coifmana w celu uzyskania funkcji skalujących ze znikającymi momentami . Falka jest prawie symetryczna, ich funkcje falkowe mają $znikające$$funkcje$ i były wielu Operatorzy Zygmunta .

Teoria

Niektóre twierdzenia dotyczące Coifletów:

Twierdzenie 1

Dla systemu falkowego ${\ Displaystyle \ {\ phi, {\ tylda {\ phi}}, \ psi, {\ tylda {\ psi }},h,{\tylda {h}},g,{\tylda {g}}\}}$ , następujące trzy równania są równoważne:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {lcl} {\ mathcal {M _ {\ tylda {\ psi}}}} (0, l] = 0 i {\ tekst {dla }}l=0,1,\ldots ,L-1\\\suma _{n}(-1)^{n}n^{l}h[n]=0&{\tekst{dla }} l=0,1,\ldots ,L-1\\H^{(l)}(\pi )=0&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,L-1\end{tablica }}}$

i podobna równoważność zachodzi między ${\ Displaystyle \ psi}$ i ${\ Displaystyle {\ tylda {h}}}$

Twierdzenie 2

Dla systemu falkowego ${\ Displaystyle \ {\ phi, {\ tylda {\ phi}}, \ psi, {\ tylda {\ psi }},h,{\tylda {h}},g,{\tylda {g}}\}}$ , następujące sześć równań jest równoważnych:

${\ Displaystyle {\ zacząć {tablica}{lcl}{\mathcal {M_{\tylda {\phi}}}}(t_{0},l]=\delta [l]&{\text{for}}l=0,1,\ ldots ,L-1\\{\mathcal {M_{\tylda {\phi}}}}(0,l]=t_{0}^{l}&{\text{for}}l=0,1, \ldots ,L-1\\{\kapelusz {\phi}}^{(}l)(0)=(-jt_{0})^{t}&{\text{for}}l=0,1 ,\ldots ,L-1\\\suma _{n}(n-t_{0})^{l}h[n]=\delta [l]&{\text{for }}l=0,1 ,\ldots ,L-1\\\suma _{n}n^{l}h[n]=t_{0}^{l}&{\text{for }}l=0,1,\ldots , L-1\\H^{(l)}(0)=(-jt_{0})^{t}&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,L-1\\\ koniec {tablica}}}$

i podobna równoważność zachodzi między ${\ Displaystyle {\ tylda {\ psi}}}$ i ${\ Displaystyle {\ tylda {h}}}$

Twierdzenie 3

Dla biotogonalnego systemu falkowego ${\ Displaystyle \ {\ phi, \ psi, {\ tylda {\ phi}}, {\ tylda {\ psi}} \}$ } ${\ Displaystyle {\ tylda {\ psi}}}$ lub posiada stopień L znikających momentów, to następujące dwa równania są równoważne: ψ ~ { $Displaystyle {\ tylda {\ psi}} }$

${ \ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {lcl} {\ mathcal {M _ {\ tylda {\ psi}}}} (t_ {0}, l] = \ delta [l] i {\ tekst {dla}} l = 0,1,\ldots ,{\bar {L}}-1\\{\mathcal {M_{\psi }}}(t_{0},l]=\delta [l]&{\text{for } }l=0,1,\ldots ,{\bar {L}}-1\\\end{tablica}}}$

dla dowolnego ${\ Displaystyle {\ bar {L}}}$ takiego, że $​​{\ Displaystyle {\ bar {L}} \ ll L}$

Współczynniki Coifleta

$znormalizowane$ skalowania (filtr dolnoprzepustowy), jak i funkcja falkowa (filtr górnoprzepustowy) muszą być przez Poniżej znajdują się współczynniki funkcji skalujących dla C6–30. Współczynniki falkowe uzyskuje się poprzez odwrócenie kolejności współczynników funkcji skalującej, a następnie odwrócenie znaku co drugiej (tzn. 0,102859456942}).

Matematycznie wygląda to tak, że ${\ Displaystyle B_ {k} = (-1) ^ {k} C_ {N-1-k}}$ , gdzie k jest współczynnikiem indeks, B jest współczynnikiem falkowym, a C współczynnikiem funkcji skalującej. N to indeks falkowy, tj. 6 dla C6.

Współczynniki Coiflets (znormalizowane do sumy 2)

k	C6	C12	C18	C24	C30
−10					−0,0002999290456692
−9					0,0005071055047161
−8				0,0012619224228619	0,0030805734519904
−7				−0,0023044502875399	−0,0058821563280714
−6			−0,0053648373418441	−0,0103890503269406	−0,0143282246988201
−5			0,0110062534156628	0,0227249229665297	0,0331043666129858
−4		0,0231751934774337	0,0331671209583407	0,0377344771391261	0,0398380343959686
−3		−0,0586402759669371	−0,0930155289574539	−0,1149284838038540	−0,1299967565094460
−2	−0,1028594569415370	−0,0952791806220162	−0,0864415271204239	−0,0793053059248983	−0,0736051069489375
−1	0,4778594569415370	0,5460420930695330	0,5730066705472950	0,5873348100322010	0,5961918029174380
0	1.2057189138830700	1.1493647877137300	1.1225705137406600	1.1062529100791000	1.0950165427080700
1	0,5442810861169260	0,5897343873912380	0,6059671435456480	0,6143146193357710	0,6194005181568410
2	−0,1028594569415370	−0,1081712141834230	−0,1015402815097780	−0,0942254750477914	−0,0877346296564723
3	−0,0221405430584631	−0,0840529609215432	−0,1163925015231710	−0,1360762293560410	−0,1492888402656790
4		0,0334888203265590	0,0488681886423339	0,0556272739169390	0,0583893855505615
5		0,0079357672259240	0,0224584819240757	0,0354716628454062	0,0462091445541337
6		−0,0025784067122813	−0,0127392020220977	−0,0215126323101745	−0,0279425853727641
7		−0,0010190107982153	−0,0036409178311325	−0,0080020216899011	−0,0129534995030117
8			0,0015804102019152	0,0053053298270610	0,0095622335982613
9			0,0006593303475864	0,0017911878553906	0,0034387669687710
10			−0,0001003855491065	−0,0008330003901883	−0,0023498958688271
11			−0,0000489314685106	−0,0003676592334273	−0,0009016444801393
12				0,0000881604532320	0,0004268915950172
13				0,0000441656938246	0,0001984938227975
14				−0,0000046098383254	−0,0000582936877724
15				−0,0000025243583600	−0,0000300806359640
16					0.0000052336193200
17					0,0000029150058427
18					-0,0000002296399300
19					−0,0000001358212135

Funkcja Matlaba

F = coifwavf(W) zwraca filtr skalujący powiązany z falką Coiflet określoną przez łańcuch W, gdzie W = 'coifN'. Możliwe wartości N to 1, 2, 3, 4 lub 5.