Matematyka trójfazowej energii elektrycznej

Jeden cykl napięcia w systemie trójfazowym, oznaczony wzdłuż osi czasu od 0 do 360° (2π radianów). Wykreślona linia przedstawia zmianę chwilowego napięcia (lub prądu) w funkcji czasu. Cykl ten powtarza się z częstotliwością zależną od systemu elektroenergetycznego.

W elektrotechnice trójfazowe systemy elektroenergetyczne mają co najmniej trzy przewodniki przewodzące napięcia przemienne , które są przesunięte w czasie o jedną trzecią okresu. Układ trójfazowy może być ułożony w trójkąt (∆) lub gwiazdę (Y) (w niektórych miejscach oznaczany również jako trójnik, ponieważ symbolicznie przypomina literę „Y”). Układ trójnikowy pozwala na użycie dwóch różnych napięć ze wszystkich trzech faz , na przykład system 230/400 V, który zapewnia napięcie 230 V między przewodem neutralnym (centralna piasta) a dowolną fazą oraz 400 V między dowolnymi dwoma fazami. Układ trójkąta zapewnia tylko jedno napięcie, ale ma większą redundancję, ponieważ może nadal działać normalnie z jednym z trzech uzwojeń zasilających w trybie offline, aczkolwiek przy 57,7% całkowitej pojemności. Prąd harmoniczny w przewodzie neutralnym może stać się bardzo duży, jeśli podłączone są obciążenia nieliniowe.

Definicje

W topologii połączonej w gwiazdę (gwiazdę), z kolejnością rotacji L1 - L2 - L3, zmienne w czasie napięcia chwilowe można obliczyć odpowiednio dla każdej fazy A, C, B poprzez:

${\ Displaystyle V_ {L1-N} = V_ {P} \ sin \ lewo (\ teta \ po prawej) \, \!}$

${\ Displaystyle V_ {L2-N} = V_ {P} \ sin \ lewo (\ teta - {\ Frac {2} {3}} \ pi \ prawo) = V_ {P} \ sin \ lewo (\ teta + {\ Frac {4} {3}} \ pi \ prawej)}$

${\ Displaystyle V_ { L3-N}=V_{P}\sin \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi \right)=V_{P}\sin \left(\theta +{\frac {2 }{3}}\pi \po prawej)}$

Gdzie:

${\ Displaystyle V_ {P}}$ to napięcie szczytowe,

${\ Displaystyle \ theta = 2 \ pi ft \, \!}$ to kąt fazowy w radianach

${\ displaystyle t}$ to czas w sekundach

$częstotliwość$ w cyklach na sekundę, a

napięcia L1-N, L2-N i L3-N odnoszą się do punktu połączenia w gwiazdę.

Diagramy

Poniższe obrazy pokazują, jak system sześciu przewodów dostarczających trzy fazy z alternatora można zastąpić tylko trzema. Pokazano również transformator trójfazowy.

• 

  Elementarny sześcioprzewodowy alternator trójfazowy, w którym każda faza wykorzystuje oddzielną parę przewodów transmisyjnych.

• 

  Elementarny trójprzewodowy alternator trójfazowy, pokazujący, jak fazy mogą dzielić tylko trzy przewody transmisyjne.

• 

  Każda faza transformatora trójfazowego ma własną parę uzwojeń ze wspólnym rdzeniem.

Ładunki zrównoważone

Ogólnie rzecz biorąc, w systemach elektroenergetycznych obciążenia są rozkładane tak równomiernie, jak to jest praktyczne, między fazami. Zwykłą praktyką jest najpierw omawianie systemu zrównoważonego, a następnie opisywanie skutków systemów niezrównoważonych jako odchyleń od przypadku elementarnego.

Stały transfer mocy

Ważną właściwością mocy trójfazowej jest to, że chwilowa moc dostępna dla obciążenia rezystancyjnego ${\ Displaystyle \ scriptstyle P \ = \, VI \, = \, {\ Frac {V ^ {2}}{R}}}$ jest stałe przez cały czas. Rzeczywiście, niech

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} P_ {Li} & = {\ Frac {V_ {Li} ^ {2}} {R} }\\P_{TOT}&=\sum _{i}P_{Li}\end{wyrównane}}}$

$_ }}}P_{TOT}R}$ definiujemy bezwymiarową do

${\ Displaystyle p = \ sin ^ {2} \ teta + \ sin ^ {2 }\left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi \right)+\sin ^{2}\left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi \right) ={\frac {3}{2}}}$

Stąd (podstawiając z powrotem):

${\ Displaystyle P_ {TOT} = {\ Frac {3V_ {P} ^ {2}} {2R}}.}$

Ponieważ wyeliminowaliśmy, $.$ , że całkowita moc nie zmienia się w czasie Jest to niezbędne do utrzymania płynnej pracy dużych generatorów i silników.

$\$ używając pierwiastka średniokwadratowego napięcia , na ${2}}}}$ powyżej ma następującą, bardziej klasyczną formę:

${\ Displaystyle P_ {TOT} = {\ Frac {3V ^ {2}} {R}}}$ .

Obciążenie nie musi być rezystancyjne, aby osiągnąć stałą moc chwilową, ponieważ dopóki jest zrównoważone lub takie samo dla wszystkich faz, można je zapisać jako

${\ Displaystyle Z = | Z | e ^ {j \ varphi}}$

tak, aby prąd szczytowy wynosił

${\ Displaystyle I_ {P} = {\ Frac {V_ {P}} {| Z|}}}$

dla wszystkich faz i prądów chwilowych

${\ Displaystyle I_ {L1} = ja_ {P} \ sin \ lewo (\ teta - \ varphi \ po prawej)}$

${\ Displaystyle I_ {L2} = I_ {P} \ sin \ lewo (\ teta - {\ Frac {2} {3}} \ pi - \ varphi \ po prawej)}$

${\ Displaystyle I_ {L3} = I_ {P} \ sin \ lewo (\ teta - {\ Frac {4} {3}} \ pi - \ varphi \ po prawej)}$

Teraz chwilowe moce w fazach są

${\ Displaystyle P_ {L1} = V_ {L1} I_ {L1} = V_ {P} I_ { P}\sin \left(\theta \right)\sin \left(\theta -\varphi \right)}$

${\ Displaystyle P_ {L2} = V_ {L2} I_ {L2} = V_ {P} I_ {P} \ sin \ lewo (\ theta -{\frac {2}{3}}\pi \right)\sin \left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi -\varphi \right)}$

${\ Displaystyle P_ {L3} = V_ {L3} I_ {L3} = V_ {P} I_ {P} \ sin \ lewo (\ teta - {\ Frac {4 }{3}}\pi \right)\sin \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)}$

Korzystanie ze wzorów na odejmowanie kątów :

${\ Displaystyle P_ {L1} = {\ Frac {V_ {P} I_ {P}} {2}} \left[\cos \left(\varphi \right)-\cos \left(2\theta -\varphi \right)\right]}$

${\ Displaystyle P_ {L2} = {\ Frac {V_ {P} I_ {P}} {2}} \ lewo [\ cos \ lewo (\ varphi \ prawo) - \cos \left(2\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)\right]}$

${\ Displaystyle P_ {L3} = {\ Frac {V_ {P} I_ {P}} {2}} \ lewo [\ cos \ lewo (\ varphi \ prawo) - \ cos \ lewo (2 \ theta - {\ frac {8}{3}}\pi -\varphi \right)\right]}$

które składają się na całkowitą moc chwilową

${\ Displaystyle P_ {TOT} = {\ Frac {V_ {P} I_ {P}} {2}} \ lewo \ {3 \ cos \ varphi - \ lewo [\ cos \ lewo (2 \ theta - \ varphi \ prawo)+\cos \left(2\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)+\cos \left(2\theta -{\frac {8}{3}} \pi -\varphi \right)\right]\right\}}$

Ponieważ trzy wyrazy ujęte w nawiasy kwadratowe to układ trójfazowy, sumują się one do zera i całkowita moc wynosi

${\ Displaystyle P_ {TOT} = {\ Frac {3V_ {P} I_ {P}} {2}} \ cos \ varphi}$

Lub

${\ Displaystyle P_ {TOT} = {\ Frac {3V_ {P} ^ {2}} {2 | Z |}} \ cos \ varphi}$

wykazując powyższą tezę.

$}$ pierwiastka średniokwadratowego napięcia , można $p}} {\ sqrt {2}}}$ być napisane w zwykłej formie

${\ Displaystyle P_ {TOT} = {\ Frac {3V ^ {2}} {Z}} \ cos \ varphi}$ .

Brak prądu neutralnego

W przypadku równych obciążeń w każdej z trzech faz żaden prąd netto nie płynie w przewodzie neutralnym. Prąd neutralny jest odwróconą sumą wektorów prądów liniowych. Zobacz prawa obwodowe Kirchhoffa .

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} I_ {L1} & = {\ Frac {V_ {L1-N}} {R}}, \; I_ {L2} = {\ Frac {V_ {L2-N}}} R}},\;I_{L3}={\frac {V_{L3-N}}{R}}\\-I_{N}&=I_{L1}+I_{L2}+I_{L3}\ koniec {wyrównany}}}$

Definiujemy bezwymiarowy prąd, ${\ Displaystyle i = {\ Frac {I_ {N} R} {V_ {P}}}}$ :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i & = \ sin \ lewo (\ teta \ prawo) + \ sin \ lewo (\ teta - {\ Frac {2 \ pi}}} \right)+\sin \left(\theta +{\frac {2\pi }{3}}\right)\\&=\sin \left(\theta \right)+2\sin \left(\theta \right)\cos \left({\frac {2\pi }{3}}\right)\\&=\sin \left(\theta \right)-\sin \left(\theta \right)\\ &=0\end{wyrównane}}}$

Ponieważ pokazaliśmy, że prąd neutralny wynosi zero, możemy zobaczyć, że usunięcie rdzenia neutralnego nie będzie miało wpływu na obwód, pod warunkiem, że system jest zrównoważony. Takie połączenia są zwykle stosowane tylko wtedy, gdy obciążenie na trzech fazach jest częścią tego samego elementu wyposażenia (na przykład silnika trójfazowego), ponieważ w przeciwnym razie przełączanie obciążeń i niewielkie asymetrie spowodowałyby duże wahania napięcia.

Systemy niezrównoważone

W praktyce systemy rzadko mają idealnie zrównoważone obciążenia, prądy, napięcia i impedancje we wszystkich trzech fazach. Analiza przypadków niezrównoważonych jest znacznie uproszczona dzięki zastosowaniu technik składowych symetrycznych . System niezrównoważony jest analizowany jako superpozycja trzech systemów zrównoważonych, z których każdy ma dodatnią, ujemną lub zerową sekwencję napięć zrównoważonych.

Podczas określania rozmiarów okablowania w systemie trójfazowym wystarczy znać wielkość prądów fazowych i neutralnych. Prąd neutralny można określić, dodając do siebie trzy prądy fazowe jako liczby zespolone, a następnie przekształcając współrzędne prostokątne na biegunowe. Jeśli trójfazowe prądy średniokwadratowe (RMS) to ${\ Displaystyle I_ {L1}}$ , ${\ displaystyle I_ {L2}}$ i ${\ displaystyle I_ {L3}}$ , neutralny prąd RMS to:

${\ Displaystyle I_ {L1} + I_ {L2} \ cos \ lewo ({\ Frac {2} {3}} \ pi \ prawej) + jI_ {L2} \ sin \ lewo ({\ Frac {2} {3} }}\pi \right)+I_{L3}\cos \left({\frac {4}{3}}\pi \right)+jI_{L3}\sin \left({\frac {4}{3 }}\pi \po prawej)}$

który postanawia

${\ Displaystyle I_ {L1} -I_ {L2} {\ Frac {1} {2}} -I_{L3}{\frac {1}{2}}+j{\frac {\sqrt {3}}{2}}\left(I_{L2}-I_{L3}\right)}$

Wielkość biegunowa tego jest pierwiastkiem kwadratowym z sumy kwadratów części rzeczywistej i urojonej, co sprowadza się do

${\ Displaystyle {\ sqrt {I_ {L1} ^ {2} +I_{L2}^{2}+I_{L3}^{2}-I_{L1}I_{L2}-I_{L1}I_{L3}-I_{L2}I_{L3}}}}$

Obciążenia nieliniowe

Przy obciążeniach liniowych przewód neutralny przenosi prąd tylko z powodu braku równowagi między fazami. Urządzenia wykorzystujące przednie końcówki prostownikowo-kondensatorowe (takie jak zasilacze impulsowe do komputerów, sprzętu biurowego itp.) Wprowadzają harmoniczne trzeciego rzędu. Prądy trzeciej harmonicznej są w tej samej fazie na każdej z faz zasilania i dlatego sumują się w przewodzie neutralnym, co może spowodować, że prąd neutralny w układzie gwiazda przekroczy prądy fazowe.

Obrotowe pole magnetyczne

Dowolny układ wielofazowy, dzięki przesunięciu w czasie prądów w fazach, umożliwia łatwe generowanie pola magnetycznego obracającego się z częstotliwością linii. Takie wirujące pole magnetyczne umożliwia budowę wielofazowych silników indukcyjnych . Rzeczywiście, tam, gdzie silniki indukcyjne muszą działać na zasilaniu jednofazowym (takim, jakie jest zwykle rozprowadzane w domach), silnik musi zawierać jakiś mechanizm wytwarzający wirujące pole, w przeciwnym razie silnik nie może generować żadnego momentu obrotowego podczas postoju i nie rozpocznie. Pole wytwarzane przez uzwojenie jednofazowe może dostarczać energię do już obracającego się silnika, ale bez mechanizmów pomocniczych silnik nie przyspieszy od zatrzymania.

Wirujące pole magnetyczne o stałej amplitudzie wymaga, aby wszystkie trzy prądy fazowe były równe co do wielkości i dokładnie przesunięte w fazie o jedną trzecią cyklu. Niezrównoważona praca powoduje niepożądane skutki dla silników i generatorów.

Konwersja do innych systemów fazowych

Pod warunkiem, że dwa przebiegi napięcia mają co najmniej pewne względne przesunięcie na osi czasu, inne niż wielokrotność półcyklu, każdy inny wielofazowy zestaw napięć można uzyskać za pomocą szeregu pasywnych transformatorów . Takie macierze będą równomiernie równoważyć obciążenie wielofazowe między fazami systemu źródłowego. Na przykład zrównoważoną moc dwufazową można uzyskać z sieci trójfazowej za pomocą dwóch specjalnie skonstruowanych transformatorów, z zaczepami na poziomie 50% i 86,6% napięcia pierwotnego. To połączenie Scotta T tworzy prawdziwy system dwufazowy z różnicą czasu między fazami wynoszącą 90°. Innym przykładem jest generowanie systemów o wyższym rzędzie faz dla dużych prostowników w celu uzyskania bardziej płynnego wyjścia prądu stałego i zmniejszenia harmonicznych prądów w zasilaniu.

Gdy potrzebny jest trójfazowy, ale tylko jednofazowy jest łatwo dostępny u dostawcy energii elektrycznej, można użyć konwertera faz do generowania energii trójfazowej z zasilania jednofazowego. Silnik -generator jest często używany w fabrycznych zastosowaniach przemysłowych.

Pomiary systemowe

W systemie trójfazowym wymagane są co najmniej dwa przetworniki do pomiaru mocy, gdy nie ma przewodu neutralnego, lub trzy przetworniki, gdy jest przewód neutralny. Twierdzenie Blondela mówi, że liczba wymaganych elementów pomiarowych jest o jeden mniejsza niż liczba przewodów przewodzących prąd.

Zobacz też

• Charles Proteus Steinmetz
• Galileo Ferraris
• Johna Hopkinsona
• Michaił Doliwo-Dobrowolski
• Nikola Tesla
• System wielofazowy
• Energia elektryczna trójfazowa
• Transformacja Y-Δ

•   Stevenson, William D. Jr. (1975). Elementy analizy systemów elektroenergetycznych . Seria inżynierii elektrycznej i elektronicznej McGraw-Hill (wyd. 3). Nowy Jork: McGraw-Hill. ISBN 0-07-061285-4 .