Filtr Bessela

W elektronice i przetwarzaniu sygnałów filtr Bessela jest rodzajem analogowego filtra liniowego z maksymalnie płaskim opóźnieniem grupowym/fazowym (maksymalnie liniową odpowiedzią fazową ), który zachowuje kształt fali filtrowanych sygnałów w paśmie przepustowym. Filtry Bessela są często stosowane w zwrotnic audio .

Nazwa filtra nawiązuje do niemieckiego matematyka Friedricha Bessela (1784–1846), który opracował teorię matematyczną, na której opiera się filtr. Filtry są również nazywane filtrami Bessela-Thomsona w uznaniu WE Thomsona, który opracował sposób zastosowania funkcji Bessela do projektowania filtrów w 1949 roku.

Filtr Bessela jest bardzo podobny do filtra Gaussa i dąży do tego samego kształtu wraz ze wzrostem kolejności filtrów. Podczas gdy odpowiedź skokowa w dziedzinie czasu filtra Gaussa ma zerowe przeregulowanie , filtr Bessela ma niewielkie przeregulowanie, ale wciąż znacznie mniejsze niż inne popularne filtry w dziedzinie częstotliwości, takie jak filtry Butterwortha. Zauważono, że odpowiedź impulsowa filtrów Bessela-Thomsona zmierza w kierunku Gaussa wraz ze wzrostem rzędu filtra.

W porównaniu z przybliżeniami skończonego rzędu filtra Gaussa, filtr Bessela ma lepszy współczynnik kształtowania, bardziej płaskie opóźnienie fazowe i bardziej płaskie opóźnienie grupowe niż gaussowski tego samego rzędu, chociaż gaussowski ma mniejsze opóźnienie czasowe i zerowe przeregulowanie.

Funkcja transferu

Wykres wzmocnienia i opóźnienia grupowego dla dolnoprzepustowego filtra Bessela czwartego rzędu. Należy zauważyć, że przejście z pasma przepustowego do pasma zaporowego jest znacznie wolniejsze niż w przypadku innych filtrów, ale opóźnienie grupowe jest praktycznie stałe w paśmie przepustowym. Filtr Bessela maksymalizuje płaskość krzywej opóźnienia grupowego przy częstotliwości zerowej.

Filtr dolnoprzepustowy Bessela charakteryzuje się funkcją przenoszenia :

{\ Displaystyle H (s) = {\ Frac {\ teta _ {n} (0)} {\ teta _ {n} (s / \ omega _{0})}}\,}

gdzie jest odwrotnym wielomianem Bessela , od którego filtr bierze swoją nazwę, a ${\ Displaystyle \ theta _ {n} (s)$ częstotliwością wybraną do nadania $}$ żądana częstotliwość odcięcia. Filtr ma opóźnienie grupy niskich częstotliwości wynoszące ${\ Displaystyle 1/\ omega _ {0}}$ . Ponieważ ${\ Displaystyle \ theta _ {n} (0) = \ lim _ {x \ rightarrow 0} \ theta _ {n} (x)}$ $Bessela , ale$ , definiuje się, że .

Wielomiany Bessela

Pierwiastkami wielomianu Bessela trzeciego rzędu są bieguny funkcji przenoszenia filtra w

wykreślone

, tutaj jako krzyżyki.

Funkcja przenoszenia filtra Bessela jest funkcją wymierną , której mianownikiem jest odwrotny wielomian Bessela , na przykład:

{\ Displaystyle n = 1: \ quad s + 1}

{\ Displaystyle n = 2: \ quad s ^ {2} + 3 s + 3}

{\ Displaystyle n = 3: \ quad s ^ {3} + 6 s ^ {2} + 15 s + 15}

{\ Displaystyle n = 4: \ quad s ^ {4} + 10 s ^ {3} + 45 s ^ {2} + 105 s + 105}

{\ Displaystyle n = 5: \ quad s ^ {5} + 15 s ^ {4} + 105 s ^ {3} + 420 s ^ {2} + 945 s + 945}

Odwrotne wielomiany Bessela są podane przez:

{\ Displaystyle \ teta _ {n} (s) = \ suma _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} s ^ {k}, }

Gdzie

{\ Displaystyle a_ {k} = {\ Frac {(2n-k)!} {2 ^ {nk} k! (nk)!}} \ quad k = 0,1, \ ldots, n.}

Przykład

Wykres wzmocnienia filtra Bessela trzeciego rzędu w funkcji znormalizowanej częstotliwości.

Wykres opóźnienia grupowego filtra Bessela trzeciego rzędu, ilustrujący płaskie opóźnienie jednostkowe w paśmie przepustowym.

filtra dolnoprzepustowego Bessela trzeciego rzędu (trójbiegunowego) wynosi ${0} = 1}$ _

{\ Displaystyle H (s) = {\ Frac {15} {s ^ {3} + 6 s ^ {2} + 15 s + 15}} ,}

gdzie licznik został wybrany tak, aby dawał przyrost jedności przy zerowej częstotliwości ( $)$ . Pierwiastki wielomianu mianownika, bieguny filtra, obejmują biegun rzeczywisty przy $}$ $=$ $_$ i para biegunów w

Zysk jest wtedy

{\ Displaystyle G (\ omega) = | H (j \ omega) | = {\ Frac {15} {\ sqrt {\ omega ^ {6} + 6 \ omega ^ {4} + 45 \ omega ^ {2} +225}}}.\,}

Punkt -3-dB, gdzie ${\ Displaystyle | H (j \ omega) | = {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} \,}$ występuje w ${\ Displaystyle \ omega = 1,756}$ . Nazywa się to umownie częstotliwością odcięcia.

Faza jest

{\ Displaystyle \ phi (\ omega) = - \ arg (H (j \ omega)) = \ arctan \ lewo ({\ Frac {15 \ omega - \ omega ^ {3}} {15-6 \ omega ^ { 2}}}\prawo).\,}

Opóźnienie grupowe jest

{\ Displaystyle D (\ omega) = - {\ Frac {d \ phi} {d \ omega}} = {\ Frac {6 \ omega ^ {4} + 45 \ omega ^ {2} + 225} {\ omega ^{6}+6\omega^{4}+45\omega^{2}+225}}.\,}

Rozwinięcie w szereg Taylora opóźnienia grupowego to

{\ Displaystyle D (\ omega) = 1 - {\ Frac {\ omega ^ {6}} {225}} + {\ Frac {\ omega ^ {8}} {1125}} + \ cdots.}

$\ omega ^$ $} 0}$ dwa wyrazy w ${2}$ są , co skutkuje bardzo płaskim opóźnieniem grupowym przy . Jest to największa liczba wyrazów, które można ustawić na zero, ponieważ w wielomianie Bessela trzeciego rzędu występują łącznie cztery współczynniki, których zdefiniowanie wymaga czterech równań. Jedno równanie określa, że wzmocnienie jest jednością w , $Displaystyle$ określa, że wzmocnienie wynosi zero w , pozostawiając dwa równania do określenia dwóch wyrazów w $\ omega = \ infty}$ rozwinięcie szeregu jest równe zeru. Jest to ogólna właściwość opóźnienia grupowego dla filtra Bessela rzędu $:$ wyrazy w rozwinięciu szeregowym opóźnienia grupowego będą równe zero, maksymalizując w ten sposób ${\ displaystyle n-1}$ płaskość opóźnienia grupowego przy . ${\ Displaystyle \ omega = 0}$ .

Cyfrowy

Ponieważ ważną cechą filtra Bessela jest jego maksymalnie płaskie opóźnienie grupowe, a nie odpowiedź amplitudowa, niewłaściwe jest stosowanie transformacji dwuliniowej do konwersji analogowego filtra Bessela na postać cyfrową (ponieważ zachowuje to odpowiedź amplitudową, ale nie opóźnienie grupowe).

Cyfrowym odpowiednikiem jest filtr Thirana, również wielobiegunowy filtr dolnoprzepustowy z maksymalnie płaskim opóźnieniem grupowym, który można również przekształcić w filtr wszechprzepustowy, aby zaimplementować opóźnienia ułamkowe.

Zobacz też

Linki zewnętrzne

Filtry fazowe Bessela i liniowe — Nuhertz
Stałe filtra Bessela — wiązanie CR
Filtry Bessela Wielomiany, bieguny i elementy obwodu — CR Bond
Kod źródłowy Java do obliczania biegunów filtra Bessela