Filtr cosinusowy z podniesionym pierwiastkiem

W przetwarzaniu sygnału filtr kosinusowy z podniesionym pierwiastkiem ( RRC ), czasami nazywany filtrem cosinusowym z podniesionym pierwiastkiem kwadratowym ( SRRC ), jest często używany jako filtr nadawczy i odbiorczy w cyfrowym systemie komunikacyjnym do przeprowadzania dopasowanego filtrowania . Pomaga to zminimalizować interferencję międzysymbolową (ISI). Połączona odpowiedź dwóch takich filtrów jest odpowiedzią filtra podniesionego cosinusa . Otrzymuje swoją nazwę od faktu, że jego pasmo przenoszenia ${\ Displaystyle H_ {rrc} (f)}$ , jest pierwiastkiem kwadratowym z odpowiedzi częstotliwościowej filtra podniesionego cosinusa, ${\ Displaystyle H_ {rc} (f)}$ :

${\ Displaystyle H_ {rc} (f) = H_ {rrc} (f) \ cdot H_ {rrc} (f)}$

Lub:

${\ Displaystyle | H_ {rrc} (f) | = {\ sqrt {| H_ {rc} (f) |}}}$

Dlaczego jest to wymagane

Aby uzyskać minimalne ISI ( intersymbol interferencji ), ogólna odpowiedź filtra nadawczego, odpowiedzi kanału i filtra odbiorczego musi spełniać kryterium ISI Nyquista . Filtr z podniesionym cosinusem jest najpopularniejszą odpowiedzią filtra spełniającą to kryterium. Połowa tego filtrowania odbywa się po stronie nadawczej, a połowa po stronie odbiorczej. Po stronie odbiorczej odpowiedź kanału, jeśli można ją dokładnie oszacować, może być również wzięta pod uwagę, tak że ogólna odpowiedź jest taka, jak w przypadku filtra o podniesionym kosinusie.

Opis matematyczny

Odpowiedź impulsowa filtru kosinusowego z podniesieniem pierwiastka pomnożona przez Ts _dla trzech wartości β : 1,0 (niebieski), 0,5 (czerwony) i 0 (zielony).

Filtr RRC charakteryzuje się dwiema wartościami; β , współczynnik roll-off , a T _s odwrotność szybkości symboli.

Odpowiedź impulsową takiego filtra można przedstawić jako :

${\ Displaystyle h (t) = {\ rozpocząć {przypadki} {\ dfrac {1} {T_ {s}}} \ lewo (1 + \ beta ({\ dfrac {4} {\ pi}} -1) \ w prawo),&t=0\\{\dfrac {\beta}}{T_{s}{\sqrt {2}}}}\left[\left(1+{\dfrac {2}{\pi}}\right )\sin \left({\dfrac {\pi }{4\beta }}\right)+\left(1-{\dfrac {2}{\pi}}\right)\cos \left({\dfrac {\pi}{4\beta}}\right)\right],&t=\pm {\dfrac {T_{s}}{4\beta}}\\{\dfrac {1}{T_{s}} }{\dfrac {\sin \left[\pi {\dfrac {t}{T_{s}}}\left(1-\beta \right)\right]+4\beta {\dfrac {t}{T_ {s}}}\cos \left[\pi {\dfrac {t}{T_{s}}}\left(1+\beta \right)\right]}{\pi {\dfrac {t}{T_ {s}}}\lewo[1-\lewo(4\beta {\dfrac {t}{T_{s}}}\prawo)^{2}\prawo]}},&{\mbox{inaczej}} \end{przypadki}}}$ ,

chociaż są też inne formy.

W przeciwieństwie do filtra z podniesionym kosinusem, odpowiedź impulsowa nie jest zerowa w odstępach ± ​​T _s . Jednak połączone filtry nadawania i odbioru tworzą filtr o podniesionym kosinusie, ​​Ts _który ma zero w odstępach ± . Tylko w przypadku β = 0 pierwiastek cosinus podniesiony ma zera w ± T _s .

• S. Daumont, R. Basel, Y. Louet, „Root-Raised Cosine filter influences on PAPR distribution of single carrier signals”, ISCCSP 2008, Malta, 12-14 marca 2008.
•   Proakis, J. (1995). Komunikacja cyfrowa (wyd. 3). McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-113814-5 .