Kryterium ISI Nyquista

Podwyższona odpowiedź cosinusowa spełnia kryterium ISI Nyquista. Kolejne impulsy podniesionego cosinusa pokazują zerową właściwość ISI między transmitowanymi symbolami w momentach próbkowania. W chwili t=0 środkowy impuls osiąga maksimum, a suma pozostałych impulsów wynosi zero.

W komunikacji kryterium ISI Nyquista opisuje warunki, które, gdy są spełnione przez kanał komunikacyjny (w tym odpowiedzi filtrów nadawczych i odbiorczych), skutkują brakiem interferencji międzysymbolowej lub ISI. Zapewnia metodę konstruowania funkcji o ograniczonym paśmie w celu przezwyciężenia skutków interferencji międzysymbolowej.

Gdy kolejne symbole są transmitowane w kanale przez modulację liniową (taką jak ASK , QAM itp.), odpowiedź impulsowa (lub równoważnie odpowiedź częstotliwościowa ) kanału powoduje, że przesyłany symbol jest rozłożony w dziedzinie czasu. Powoduje to interferencję międzysymbolową, ponieważ poprzednio przesyłane symbole wpływają na aktualnie odbierany symbol, zmniejszając w ten sposób tolerancję na szum . Twierdzenie Nyquista wiąże ten warunek w dziedzinie czasu z równoważnym warunkiem w dziedzinie częstotliwości .

Kryterium Nyquista jest ściśle związane z twierdzeniem Nyquista-Shannona o próbkowaniu , z innym tylko punktem widzenia.

Kryterium Nyquista

Jeśli oznaczymy odpowiedź impulsową kanału jako , to warunek odpowiedzi wolnej od ISI można wyrazić jako: ${\ displaystyle h (t)}$

{\ Displaystyle h (nT_ {s}) = {\ rozpocząć {przypadki} 1; & n = 0 \\ 0; & n \ neq 0 \ koniec {przypadków}}}

$dla$ wszystkich $liczb$ , okresem symbolu . Twierdzenie Nyquista mówi, że jest to równoważne:

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {T_ {s}}} \ suma _ {k = - \ infty} ^{+\infty }H\left(f-{\frac {k}{T_{s}}}\right)=1\quad {\text{dla wszystkich częstotliwości}}f}

,

gdzie ${\ Displaystyle H (f)}$ jest transformatą Fouriera z ${\ Displaystyle h (t)}$ . Jest to kryterium ISI Nyquista.

Kryterium to można intuicyjnie zrozumieć w następujący sposób: repliki z przesuniętą częstotliwością $muszą$ stałej wartości $lub$ jest spełniony, gdy widmo ma parzystą symetrię, ma szerokość pasma równą $}$ , a jego pojedyncza wstęga boczna ma nieparzysta symetria odcięcia ${\ Displaystyle \ pm 1/2T_ {s}}$ .

W praktyce kryterium to stosuje się do filtrowania pasma podstawowego, traktując sekwencję symboli jako ważone impulsy ( funkcja delta Diraca ). Gdy filtry pasma podstawowego w systemie komunikacyjnym spełniają kryterium Nyquista, symbole mogą być przesyłane kanałem z płaską odpowiedzią w ograniczonym paśmie częstotliwości, bez ISI. Przykładami takich filtrów pasma podstawowego są filtr z podniesionym kosinusem lub filtr sinc jako przypadek idealny.

Pochodzenie

Aby wyprowadzić kryterium, najpierw wyrażamy odebrany sygnał w kategoriach transmitowanego symbolu i odpowiedzi kanału. Niech funkcją h(t) będzie odpowiedź impulsowa kanału , x[n] symbole do wysłania, z okresem _symbolu Ts ; odebrany sygnał y(t) będzie miał postać (gdzie dla uproszczenia pominięto szum):

{\ Displaystyle y (t) = \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n ]\cdot h(t-nT_{s})}

.

Próbkując ten sygnał w odstępach T _s , możemy wyrazić y(t) jako równanie w czasie dyskretnym:

{\ Displaystyle y [k] = y (kT_ {s}) = \ suma _ {n =-\infty }^{\infty}x[n]\cdot h[kn]}

.

Jeśli osobno zapiszemy wyraz h[0] sumy, możemy to wyrazić jako:

{\ Displaystyle y [k] = x [k] \ cdot h [0] + \ suma _{n\neq k}x[n]\cdot h[kn]}

,

iz tego możemy wywnioskować, że jeśli odpowiedź h [n] spełnia

{\ Displaystyle h [n] = {\ rozpocząć {przypadki} 1; & n = 0 \\ 0; & n \ neq 0 \ koniec {przypadków}}}

,

tylko jeden przesyłany symbol ma wpływ na odbierane y[k] w momentach próbkowania, usuwając w ten sposób wszelkie ISI. Jest to w dziedzinie czasu dla kanału wolnego od ISI. Teraz znajdujemy w dziedzinie częstotliwości . Zaczniemy od wyrażenia tego warunku w czasie ciągłym:

{\ Displaystyle h (nT_ {s}) = {\ rozpocząć {przypadki} 1; & n = 0 \\ 0; & n \ neq 0 \ koniec {przypadków}}}

dla wszystkich liczb całkowitych ${\ displaystyle n}$ . Mnożymy takie h ( t ) przez sumę funkcji delta Diraca $T$ ) przedziałami s _{Jest to równoważne} odpowiedzi jak powyżej, ale przy użyciu czasu ciągłego wyrażenie. Prawą stronę warunku można zatem wyrazić jako jeden impuls w początku:

{\ Displaystyle h (t) \ cdot \ suma _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} \delta (t-kT_{s})=\delta (t)}

Przekształcając Fouriera obu członków tej relacji otrzymujemy:

{\ Displaystyle H \ lewo (f \ prawej) * {\ Frac {1} {T_ {s}}} \sum _{k=-\infty }^{+\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T_{s}}}\right)=1}

I

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {T_ {s}}} \ suma _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty }H\left(f-{\frac {k}{T_{s}}}\right)=1}

.

Jest to kryterium ISI Nyquista i jeśli odpowiedź kanału je spełnia, to nie ma ISI między różnymi próbkami.

Zobacz też

John G. Proakis , „ Komunikacja cyfrowa, wydanie 3 ”, McGraw-Hill Book Co., 1995 . ISBN 0-07-113814-5
Behzad Razavi , " RF Microelectronics ", Prentice-Hall, Inc., 1998 . ISBN 0-13-887571-5