Filtry adaptacyjne 2D

Dwuwymiarowy (2D) filtr adaptacyjny jest bardzo podobny do jednowymiarowego filtra adaptacyjnego , ponieważ jest to system liniowy, którego parametry są adaptacyjnie aktualizowane w trakcie procesu, zgodnie z pewnym podejściem optymalizacyjnym. Główna różnica między filtrami adaptacyjnymi 1D i 2D polega na tym, że te pierwsze zwykle przyjmują jako wejścia sygnały w odniesieniu do czasu, co implikuje przyczynowości , podczas gdy te drugie obsługują sygnały o 2 wymiarach, takie jak współrzędne xy w dziedzinie przestrzeni, które zwykle nie są -przyczynowy. Ponadto, podobnie jak filtry 1D, większość filtrów adaptacyjnych 2D to filtry cyfrowe , ze względu na złożony i iteracyjny charakter algorytmów.

Motywacja

Temat filtrów adaptacyjnych 2D jest bardzo ważny w elektrotechnice i przetwarzaniu sygnałów , ponieważ filtry te mają zdolność uwzględniania niestacjonarnych właściwości statystycznych sygnałów 2D. Filtry adaptacyjne znajdują zastosowanie w takich dziedzinach, jak usuwanie szumów , przewidywanie sygnału , korekcja i usuwanie echa . Przykłady zastosowań filtrów adaptacyjnych 2D obejmują odszumianie obrazu, śledzenie ruchu, szacowanie kanału OFDM, wyrównywanie zapisu magnetycznego

Przykład zastosowania

Schemat blokowy do dwuwymiarowej identyfikacji systemu.

Filtry adaptacyjne 2D mogą być używane do identyfikacji systemów. Funkcja systemu nieznanego systemu jest określona przez ${\ Displaystyle P (z_ {1}, z_ {2})}$ i ${\ Displaystyle H (z_) {1},z_{2})}$ jest funkcją systemową adaptacyjnego filtra 2D, gdy jego wyjście jest stałe. mi ${\ Displaystyle e (n_ {1}, n_ {2})$ między nieznanym wyjściem systemowym $Displaystyle$ filtra $y$ jest minimalizowane, jeśli nieznany system i znany filtr adaptacyjny 2D mają to samo wejście i jeśli wynikowe wyniki są podobne. Następnie można pokazać, że ${\ Displaystyle P (z_ {1}, z_ {2})}$ może być reprezentowany przez ${\ Displaystyle H (z_ {1}, z_ {2})}$ . ${\ Displaystyle H (z_ {1}, z_ {2})}$ jest znany jako model identyfikacji systemu nieznanego systemu.

Oświadczenie o problemie

Ogólny schemat blokowy filtra adaptacyjnego 2D.

W cyfrowym przetwarzaniu sygnału dowolny system niezmienny z przesunięciem liniowym można przedstawić za pomocą splotu sygnału z odpowiedzią impulsową filtra , wyrażoną wyrażeniem:

${\ Displaystyle y (n_ {1}, n_ {2} })=\sum _{m_{1}}\sum _{m_{2}}w(m_{1},m_{2})x(n_{1}-m_{1},n_{2}- m_{2})}$

$można$ system ma modelować pożądaną odpowiedź uzyskać poprzez ciągłe dostosowywanie wartości masy funkcja ${\ Displaystyle F [e (n_ {1}, n_ {2})]}$ , która ocenia błąd między dwiema odpowiedziami.

${\ Displaystyle e (n_ {1}, n_ {2}) = d (n_ {1}, n_ {2})-y(n_{1},n_{2})}$${\ Displaystyle w_ {j + 1} (n_ {1}, n_ {2}) = w_ {j} (n_ {1}, n_ {2}) + F [ e(n_{1},n_{2})]}$

Podchodzi do

Adaptacyjne filtry FIR 2D o najmniejszej średniej kwadratowej

Filtry adaptacyjne najmniejszego średniego kwadratu (LMS) wykorzystują najpowszechniejszą metodę pomiaru błędu, błąd średniokwadratowy. Filtry adaptacyjne 2D LMS wywodzą się z filtrów adaptacyjnych 1D LMS , która minimalizuje wyjściową wartość średnią kwadratową poprzez dostosowanie współczynników filtra. Filtr ma główny sygnał wejściowy 2D d i referencyjny sygnał wejściowy x. Główny sygnał wejściowy d składa się z idealnego sygnału i składowej szumu. Filtr jest przyczynowym filtrem FIR N na N z odpowiedzią impulsową ${\ displaystyle w}$ . Wtedy możemy uzyskać wyjście filtra podane przez

${\ Displaystyle y (n_ {1}, n_ {2}) = \ suma _ {m_ {1} = 0} ^ {N-1} \ suma _ {m_ {2} = 0} ^ {N-1} w_{j}(m_{1},m_{2})x(n_{1}-m_{1},n_{2}-m_{2})}$

gdzie j to numer iteracji dla filtrów adaptacyjnych.

Sygnał błędu ${\ displaystyle e_ {j}}$ -tej iteracji jest zdefiniowany jako mi jot

${\ Displaystyle e_ {j} = d (n_ {1}, n_ {2}) - \ suma _ {m_ {1} = 0} ^ {N-1} \ suma _ {m_ {2} = 0} ^ {N-1}w_{j}(m_{1},m_{2})x(n_{1}-m_{1},n_{2}-m_{2})}$

Macierz wag w następnej iteracji jest równa obecnej macierzy wag plus zmiana proporcjonalna do ujemnego gradientu błędu średniokwadratowego. W przypadku dwuwymiarowego filtra adaptacyjnego LMS współczynniki filtra są aktualizowane w następujący sposób:

${\ Displaystyle w_ {j + 1} (n_ {1}, n_ {2})=w_{j}(n_{1},n_{2})+2\mu e_{j}x(n_{1},n_{2})}$

gdzie jest kontrolującym $mnożnikiem$ , który może kontrolować szybkość konwergencji i stabilność filtra.

Zalety : Filtr adaptacyjny TDLMS może zostać zaimplementowany bez jakiejkolwiek formy operacji macierzowych, uśredniania lub różniczkowania. Zbieżność algorytmu nie zależy od warunków początkowych i będzie zbieżna dla dowolnej wartości początkowej, stąd zapewnia dobrą wydajność w obrazach niestacjonarnych.

Wady : Dokładne wartości oczekiwań filtru adaptacyjnego TDLMS nie zbiegają się do stałej wartości, jeśli musimy zachować jego zdolność śledzenia. Dlatego wybór projektu μ zależy od konkretnego zastosowania i obejmuje kompromis między prędkością konwergencji, zdolnością śledzenia i MSE w stanie ustalonym.

Filtry adaptacyjne IIR 2D metodą najmniejszych średnich kwadratów

W przypadku dwuwymiarowego filtra adaptacyjnego LMS IIR jego podstawowa idea jest taka sama jak w przypadku filtrów adaptacyjnych 2D LMS FIR, z tym wyjątkiem, że używamy filtra IIR , który może zmniejszyć wymagania dotyczące kolejności filtrów. Równanie różnicowe dwuwymiarowego filtra IIR można zapisać jako

${\ Displaystyle y (n_ {1}, n_ {2}) = \ suma _ {m_ {1} = 0} ^ {M_ {1}} \ suma _ {m_ {2} = 0} ^ {M_ {2 }}a(m_{1},m_{2})x(n_{1}-m_{1},n_{2}-m_{2})-{\suma _{m_{1}=0}^ {L_{1}}\suma _{m_{2}=0}^{L_{2}}}_{(m_{1},m_{2})\neq (0,0)}b(m_{ 1},m_{2})y(n_{1}-m_{1},n_{2}-m_{2})}$

gdzie ${\ Displaystyle y (n_ {1}, n_ {2})}$ i ${\ Displaystyle x (n_ {1}, n_ {2})}$ są odpowiednio wyjściem i wejściem filtra adaptacyjnego. ${\ Displaystyle b (m_ {1}, m_ {2})}$ i ${\ displaystyle a (m_ {1}, m_ {2})}$ to maski wejścia i wyjścia filtra. Sygnał błędu jest podawany przez

${\ Displaystyle e (n_ {1}, n_ {2}) = d (n_ {1}, n_ {2})-y(n_{1},n_{2})}$

gdzie ${\ Displaystyle d (n_ {1}, n_ {2})}$ jest głównym sygnałem wyjściowym.

Średni $_$ _ sposób, aby osiągnąć optymalną wagę filtra.

Zalety : Filtry IIR mogą spełniać zalecaną charakterystykę częstotliwościową, ponieważ mogą zmniejszyć wymagania dotyczące kolejności filtrów.

Wady : Powierzchnie wydajności adaptacyjnych filtrów adaptacyjnych LMS IIR są niekwadratowe i mogą mieć lokalne minima. Tymczasem adaptacyjne filtry IIR mogą stać się niestabilne podczas adaptacji, dlatego potrzebny jest pewien rodzaj monitorowania stabilności.

Rekurencyjne filtry adaptacyjne najmniejszych kwadratów

Adaptacyjne filtry rekurencyjne 2D metodą najmniejszych kwadratów można opracować, stosując rekurencyjne filtry 1D metodą najmniejszych kwadratów zarówno w kierunku poziomym, jak i pionowym. Adaptacyjny RLS to algorytm, który rekurencyjnie wyszukuje współczynniki filtra, aby zminimalizować ważoną funkcję kosztu najmniejszych kwadratów. Algorytm RLS różni się od algorytmu najmniejszych średnich kwadratów, którego celem jest zmniejszenie błędu średniokwadratowego, jego sygnał wejściowy jest uważany za deterministyczny. Z tego powodu algorytm RLS ma charakterystykę szybkiej zbieżności.

Zalety : Algorytm RLS ma właściwość szybkiej zbieżności. Dokładność odszumiania obrazu w oparciu o algorytm RLS jest lepsza niż adaptacyjne filtry 2D LMS.

Wady : Algorytm RLS wymaga dużej ilości obliczeń, zwłaszcza w przypadku dwuwymiarowym i wielowymiarowym.

Porządkowanie leksykograficzne

Jednym z wygodnych sposobów implementacji filtrów adaptacyjnych 2D jest przekształcenie problemu 2D w problem 1D poprzez uporządkowanie leksykograficzne . Upraszcza to implementację i umożliwia korzystanie z obszernej literatury dostępnej dla filtrów adaptacyjnych 1D oraz wykorzystanie wszystkich istniejących algorytmów 1D.

Transformacje McClellana

Transformacji McClellana można użyć do przekształcenia projektu filtra 1D w projekt filtra 2D za pomocą funkcji transformacji. Teoria ta umożliwia projektowanie filtrów adaptacyjnych 2D z istniejących filtrów prototypowych 1D. W porównaniu z podejściem bezpośrednim system ten ma zalety mniejszej złożoności obliczeniowej i szybszego tempa konwergencji. Aby jednak działać poprawnie, potrzebuje pewnych informacji a priori o systemie, aby poprawnie wybrać parametry funkcji transformacji, czyniąc system wstępnie ograniczonym.

Zablokuj filtry adaptacyjne 2D po przekątnej

Block Diagonal 2D Adaptive Filters to alternatywne podejście, które skanuje sygnał przez bloki i stosuje korekty wagi dla każdego bloku, zamiast dla każdej próbki, jak w tradycyjnych filtrach adaptacyjnych. Zaletą tego rodzaju systemu jest to, że uwzględnia korelacje sygnału wzdłuż obu wymiarów. Z drugiej strony zakłada większą lokalną stacjonarność sygnału.