Finanse kwantowe

Finanse kwantowe to interdyscyplinarna dziedzina badań, wykorzystująca teorie i metody opracowane przez fizyków kwantowych i ekonomistów do rozwiązywania problemów finansów. Jest to dział ekonofizyki .

Kontekst dotyczący wyceny instrumentów

Teoria finansów w dużej mierze opiera się na wycenie instrumentów finansowych, takich jak wycena opcji na akcje . Wiele problemów stojących przed społecznością finansową nie ma znanych rozwiązań analitycznych. W rezultacie rozpowszechniły się metody numeryczne i symulacje komputerowe służące rozwiązywaniu tych problemów. Ten obszar badań nazywany jest finansami obliczeniowymi . Wiele problemów związanych z finansami obliczeniowymi ma wysoki stopień złożoności obliczeniowej i powoli udaje się je rozwiązać na klasycznych komputerach. W szczególności jeśli chodzi o wycenę opcji, istnieje dodatkowa złożoność wynikająca z konieczności reagowania na szybko zmieniające się rynki. Na przykład, aby skorzystać z niedokładnie wycenionych opcji na akcje, obliczenia muszą zostać zakończone przed następną zmianą na niemal stale zmieniającym się rynku akcji. W rezultacie społeczność finansowa zawsze szuka sposobów przezwyciężenia wynikających z tego problemów z wydajnością, które pojawiają się przy wycenie opcji. Doprowadziło to do badań nad zastosowaniem alternatywnych technik obliczeniowych w finansach.

Kontekst finansów kwantowych

Jedną z takich alternatyw są obliczenia kwantowe . Podobnie jak modele fizyczne ewoluowały od klasycznych do kwantowych, ewoluowała także informatyka. Wykazano, że komputery kwantowe przewyższają komputery klasyczne, jeśli chodzi o symulowanie mechaniki kwantowej, a także w przypadku kilku innych algorytmów, takich jak algorytm Shora do faktoryzacji i algorytm Grovera do wyszukiwania kwantowego, co czyni je atrakcyjnym obszarem badań w celu rozwiązywania problemów z finansami obliczeniowymi.

Kwantowy model ciągły

Większość badań dotyczących wyceny opcji kwantowych zazwyczaj koncentruje się na kwantyzacji klasycznego równania Blacka – Scholesa – Mertona z perspektywy równań ciągłych, takich jak równanie Schrödingera . Haven opiera się na pracy Chena i innych, ale postrzega rynek z perspektywy równania Schrödingera . Kluczowym przesłaniem pracy Havena jest to, że równanie Blacka – Scholesa – Mertona jest w rzeczywistości szczególnym przypadkiem równania Schrödingera, w którym zakłada się, że rynki są efektywne. Równanie oparte na Schrödingerze, które wyprowadza Haven, ma parametr ħ (nie mylić ze złożonym koniugatem h), który reprezentuje wielkość arbitrażu obecnego na rynku wynikającego z różnych źródeł, w tym nieskończenie szybkich zmian cen, nieskończenie szybkie rozpowszechnianie informacji i nierówne bogactwo wśród handlowców. Haven argumentuje, że poprzez odpowiednie ustawienie tej wartości można wyznaczyć dokładniejszą cenę opcji, ponieważ w rzeczywistości rynki nie są naprawdę efektywne.

Jest to jeden z powodów, dla których możliwe jest, że model wyceny opcji kwantowych będzie dokładniejszy niż model klasyczny. Baaquie opublikował wiele artykułów na temat finansów kwantowych, a nawet napisał książkę, w której zebrano wiele z nich. Podstawą badań Baaquiego i innych, takich jak Matacz, są całki po drodze Feynmana.

Baaquie stosuje całki po ścieżkach do kilku egzotycznych opcji i przedstawia wyniki analityczne, porównując swoje wyniki z wynikami równania Blacka – Scholesa – Mertona pokazując, że są one bardzo podobne. Piotrowski i in. przyjąć inne podejście, zmieniając założenie Blacka – Scholesa – Mertona dotyczące zachowania akcji stanowiących podstawę opcji. Zamiast zakładać, że następuje to zgodnie z procesem Wienera – Bacheliera , zakładają, że następuje to zgodnie z procesem Ornsteina – Uhlenbecka . Po przyjęciu tego nowego założenia wyprowadzają kwantowy model finansów, a także europejską formułę opcji kupna.

Inne modele, takie jak Hull – White i Cox – Ingersoll – Ross, z powodzeniem zastosowały to samo podejście w klasycznym otoczeniu z instrumentami pochodnymi stopy procentowej. Chrennikow opiera się na pracach Havena i innych i dodatkowo wzmacnia pogląd, że założenie dotyczące efektywności rynku przyjęte na podstawie równania Blacka – Scholesa – Mertona może nie być właściwe. Aby poprzeć tę koncepcję, Chrennikow opiera się na strukturze prawdopodobieństw kontekstowych, wykorzystując agentów jako sposób na przezwyciężenie krytyki dotyczącej stosowania teorii kwantowej w finansach. Accardi i Boukas ponownie kwantyzują równanie Blacka – Scholesa – Mertona, ale w tym przypadku uważają również, że akcje bazowe mają zarówno procesy Browna, jak i Poissona.

Kwantowy model dwumianowy

Chen opublikował artykuł w 2001 roku, w którym przedstawia dwumianowy model wyceny opcji kwantowych, w skrócie nazywany po prostu dwumianowym modelem kwantowym. Mówiąc metaforycznie, kwantowy model wyceny opcji dwumianowych Chena (zwany dalej modelem dwumianu kwantowego) jest w porównaniu z istniejącymi modelami finansów kwantowych tym, czym klasyczny model wyceny opcji dwumianowych Coxa – Rossa – Rubinsteina był dla modelu Blacka – Scholesa – Mertona: dyskretny i prostsza wersja tego samego wyniku. Te uproszczenia sprawiają, że odpowiednie teorie są nie tylko łatwiejsze do analizy, ale także łatwiejsze do wdrożenia na komputerze.

Wielostopniowy kwantowy model dwumianowy

W modelu wieloetapowym kwantowa formuła wyceny wygląda następująco: ${\ displaystyle C_ {0} ^ {N} = \ operatorname { tr} [(\bigotimes _{j=1}^{N}\rho _{j}){[S_{N}-K]}^{+}]} co jest odpowiednikiem Coxa – Rossa –$ Rubinsteina Wzór modelu wyceny opcji dwumianowych wygląda następująco: ${\ Displaystyle C_ {0} ^ {N} = (1 + r) ^ {- N} \ suma _ {n = 0} ^ {N} {\ Frac {N!} {n! (Nn)!}} q^{n}{(1-q)}^{Nn}{[S_{0}{(1+b)}^{n}{(1+a)}^{Nn}-K]}^{ +}}$

Pokazuje to, że zakładając, że akcje zachowują się zgodnie z klasycznymi statystykami Maxwella – Boltzmanna, kwantowy model dwumianu rzeczywiście zapada się w klasyczny model dwumianu.

Według Meyera zmienność kwantowa jest następująca:

${\ Displaystyle \ sigma = {\ Frac {\ ln {(1 + x_ {0} + {\ sqrt {x_ {1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}})}}{\sqrt {1/t}}}}$

Założenie Bosego-Einsteina

Statystykę Maxwella – Boltzmanna można zastąpić kwantową statystyką Bosego – Einsteina, uzyskując następujący wzór na cenę opcji: ${\ Displaystyle C_ {0} ^ {N} = (1 + r) ^ {- N} \ suma _ {n = 0} ^ { N}\left({\frac {q^{n}{(1-q)}^{Nn}}{\sum _{k=0}^{N}q^{k}{(1-q) }^{Nk}}}\right){[S_{0}{(1+b)}^{n}{(1+a)}^{Nn}-K]}^{+}}$

Równanie Bosego-Einsteina da ceny opcji, które w pewnych okolicznościach będą się różnić od cen uzyskanych za pomocą formuły wyceny opcji Coxa-Rossa-Rubinsteina. Dzieje się tak, ponieważ materiał jest traktowany jak cząstka bozonu kwantowego, a nie jak cząstka klasyczna.

Kwantowy algorytm wyceny instrumentów pochodnych

Rebentrost wykazał w 2018 roku, że istnieje algorytm dla komputerów kwantowych zdolnych do wyceny instrumentów pochodnych finansowych z przewagą pierwiastka kwadratowego nad metodami klasycznymi. Rozwój ten oznacza przejście od stosowania mechaniki kwantowej do uzyskania wglądu w finanse funkcjonalne do wykorzystania systemów kwantowych – komputerów kwantowych do wykonywania tych obliczeń.

W 2020 roku Orrell zaproponował model wyceny opcji oparty na spacerze kwantowym, który może działać na urządzeniu fotonicznym.

Linki zewnętrzne

• Finanse kwantowe