Forma Jacobiego

W matematyce forma Jacobiego jest formą automorficzną na grupie Jacobiego , która jest półbezpośrednim iloczynem grupy symplektycznej Sp (n; R) i grupy Heisenberga ${\ Displaystyle H_ {R} ^ { (n,h)}}$ . Teoria ta została po raz pierwszy systematycznie zbadana przez Eichlera i Zagiera (1985) .

Definicja

Forma Jacobiego poziomu 1, wagi k i indeksu m jest funkcją dwóch zmiennych zespolonych (z τ w górnej połowie płaszczyzny) taką, że ${\ Displaystyle \ phi (\ tau, z)}$

• ${\ Displaystyle \ phi \ lewo ({\ Frac {a \ tau + b} {c \ tau + d}}, {\ Frac {z} {c \ tau + d}} \ prawej) = ( c\tau +d)^{k}e^{\frac {2\pi imcz^{2}}{c\tau +d}}\phi (\tau ,z){\text{ dla }}{a \ b \choose c\ d}\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$
• ${\ Displaystyle \ phi (\ tau, z + \ lambda \ tau + \ mu )=e^{-2\pi im(\lambda ^{2}\tau +2\lambda z)}\phi (\tau ,z)}$ dla wszystkich liczb całkowitych λ, μ.
• ma rozwinięcie Fouriera. ${\ displaystyle \ phi}$

${\ Displaystyle \ phi (\ tau, z) = \ suma _ {n \ geq 0} \ suma _ {r ^ {2} \ równoważnik 4mn} C (n, r) e ^ {2 \ pi ja (n \ tau +rz)}.}$

Przykłady

Przykłady dwóch zmiennych obejmują funkcje Jacobiego theta , funkcję Weierstrassa ℘ i współczynniki Fouriera – Jacobiego modułowych form Siegela z rodzaju 2. Przykłady z więcej niż dwiema zmiennymi obejmują znaki niektórych nieredukowalnych reprezentacji o najwyższej wadze afinicznych algebr Kaca – Moody'ego . Formy meromorficzne Jacobiego pojawiają się w teorii form modułowych Mocka .

•    Eichler, Martin; Zagier, Don (1985), Teoria form Jacobiego , Progress in Mathematics, tom. 55, Boston, MA: Birkhäuser Boston, doi : 10.1007/978-1-4684-9162-3 , ISBN 978-0-8176-3180-2 , MR 0781735