Formuła Croftona

W matematyce wzór Croftona , nazwany na cześć Morgana Croftona (1826–1915), jest klasycznym wynikiem geometrii całkowej odnoszącej długość krzywej do oczekiwanej liczby przecięć „losowej” linii .

Oświadczenie

Załóżmy , $płaską$ jest prostowalną krzywą . $pod$$uwagę zorientowaną$ linię ℓ , niech ℓ ) będzie liczbą punktów, w których ℓ przecinają się. Możemy sparametryzować ogólną linię ℓ przez kierunek $jej$ w którym wskazuje, i $znakowaną$ od początku . Wzór Croftona wyraża długość łuku krzywej w kategoriach całki po przestrzeni wszystkich zorientowanych linii: ${\ displaystyle \ gamma}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {długość} (\ gamma) = {\ Frac {1} {4}} \ iint n _ {\ gamma} (\ varphi, p) \; d \ varphi \; dp.}$

Forma różniczkowa

${\ Displaystyle d \ varphi \ klin dp}$

jest niezmiennikiem przy sztywnych ruchach $to$ naturalna miara całkowania mówiąca o „średniej” liczbie skrzyżowań Zwykle nazywa się to miarą kinematyczną .

Prawa strona we wzorze Croftona jest czasami nazywana długością Favarda.

Ogólnie rzecz biorąc, przestrzeń zorientowanych linii w ${n}}$ wiązką styczną i możemy podobnie zdefiniować $\ mathbb {R}$$niezmienna$ kinematyczna na przy sztywnych ruchach $}}$ . Następnie dla dowolnej prostowalnej powierzchni $kowymiarze$ 1 mamy

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {obszar} (S) = C_ {n} \ iint n _ {\ gamma} (\ varphi, p) \; d \ varphi \; dp.}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle C_ {n} = {\ Frac {1} {2 \ cdot | {\ tekst {jednostka kula w}} \ mathbb {R} ^ {n -1}|}}={\frac {\Gamma {({\frac {n+1}{2}})}}{2\pi ^{\frac {n-1}{2}}}}}$$

Szkic dowodowy

Obie strony wzoru Croftona są addytywne względem konkatenacji krzywych, więc wystarczy udowodnić wzór dla pojedynczego odcinka linii. Ponieważ prawa strona nie zależy od położenia odcinka linii, musi być równa jakiejś funkcji długości odcinka. Ponieważ ponownie formuła jest addytywna w stosunku do konkatenacji odcinków linii, całka musi być stałą pomnożoną przez długość odcinka linii. Pozostaje tylko określić współczynnik 1/4; można to łatwo zrobić, obliczając obie strony, gdy γ jest jednostką koła .

Dowód dla wersji uogólnionej przebiega dokładnie tak, jak powyżej.

Wzór Poincarego na przecinające się krzywe

Niech $grupą$ na płaszczyźnie . Można go sparametryzować jako ${\ Displaystyle [0,2 \ pi) \ razy \ mathbb {R} ^ {2}}$ , że każdy ${\ Displaystyle (\ varphi, x, y) \ w [0,2 \ pi) \ razy \ mathbb {R} ^ {2}}$ definiuje pewne ${\ Displaystyle T (\ varphi, x, y)}$ : obróć o przeciwnie do ruchu $wskazówek zegara$ wokół początku, a następnie przetłumacz o ${\ Displaystyle (x, y)$ . Wtedy ${\ Displaystyle dx \ klin dy \ klin d \ varphi}$$jest$ niezmienne pod wpływem działania na , więc uzyskaliśmy miarę kinematyczną na ${\ Displaystyle E ^ {2}}$ .

${\ displaystyle C, D}$ (bez samoprzecięcia) krzywe w płaszczyźnie, to do

$${\ Displaystyle \ int _ {T \ w E ^ {2}} | C \ cap T (D) | dT = 4 | C | \ cdot | D |}$$

Dowód przeprowadza się podobnie jak powyżej. Najpierw zauważ $,$ że obie strony wzoru są addytywne w więc wzór jest poprawny z nieokreśloną stałą Następnie jawnie oblicz tę stałą, używając najprostszego możliwego przypadku: dwóch okręgów o promieniu 1.

Inne formy

Przestrzeń linii zorientowanych jest podwójnym pokryciem przestrzeni linii niezorientowanych. Wzór Croftona jest często podawany w postaci odpowiedniej gęstości w tej drugiej przestrzeni, w której współczynnik liczbowy nie wynosi 1/4, ale 1/2. Ponieważ wypukła krzywa przecina prawie każdą linię albo dwa razy, albo wcale, niezorientowany wzór Croftona dla krzywych wypukłych można określić bez czynników numerycznych: miara zbioru prostych, które przecinają krzywą wypukłą, jest równa jej długości.

Ten sam wzór (z tymi samymi stałymi multiplikatywnymi) stosuje się do przestrzeni hiperbolicznych i sferycznych, gdy miara kinematyczna jest odpowiednio wyskalowana. Dowód jest zasadniczo taki sam.

Wzór Croftona uogólnia się na dowolną powierzchnię Riemanna ; całkowanie jest wówczas wykonywane miarą naturalną na przestrzeni geodezyjnej .

Istnieją bardziej ogólne formy, takie jak wzór kinematyczny Cherna.

Aplikacje

Formuła Croftona dostarcza eleganckich dowodów między innymi następujących wyników:

• Biorąc pod uwagę dwie zagnieżdżone, wypukłe, zamknięte krzywe, wewnętrzna jest krótsza. Ogólnie rzecz biorąc, dla dwóch takich powierzchni o kowymiarze 1 wewnętrzna ma mniejszą powierzchnię.
• ${2}}$$Displaystyle S_ {1} ,$ , wypukłe, zamknięte powierzchnie z zagnieżdżonymi wewnątrz $,$ , prawdopodobieństwo losowej linii $,$$S_ {2}}$ powierzchnię uwarunkowane przecięciem zewnętrznej powierzchni $displaystyle$ 2
  $${\ Displaystyle Pr (l {\ tekst {przecina się}} S_ {1} | l {\ tekst {przecina się }}S_{2})={\frac {\operatorname {obszar} (S_{1})}{\operatorname {obszar} (S_{2})}}}$$
  To jest uzasadnienie dla heurystyki pola powierzchni w hierarchii objętości ograniczającej .
• Biorąc pod uwagę zwarty podzbiór wypukły $\ Displaystyle$ niech $}$ losową linią i losową hiperpłaszczyzną, a następnie $S \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {n}$
  $${\ Displaystyle Pr (l {\ tekst {przecina się}} P | l, P {\ tekst {przecina się}} S) = {\ Frac {| S |} {| \ częściowe S | \ cdot E[{\text{szerokość }}S]}}}$$
  gdzie ${\ Displaystyle E [{\ tekst {szerokość}} S]}$ jest średnią szerokością ${\ Displaystyle S}$ , czyli oczekiwaną długością rzutu ortogonalnego ${\ displaystyle S}$ do losowej liniowej podprzestrzeni ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ . Kiedy $\ Displaystyle n = 2}$ { , przez nierówność izoperymetryczną , prawdopodobieństwo $to$ jest ograniczone w górę przez z równością iff $S}$ dysk.
• Twierdzenie Barbiera : Każda krzywa o stałej szerokości w ma obwód π w .
• Nierówność izoperymetryczna : Spośród wszystkich krzywych zamkniętych o danym obwodzie, koło ma unikalne pole maksymalne.
• Wypukły kadłub każdej ograniczonej wyprostowanej zamkniętej krzywej C ma obwód co najwyżej długości C , z równością tylko wtedy, gdy C jest już krzywą wypukłą.
• $niech$ dowolny wypukły zwarty podzbiór ${\ Displaystyle E [| T (S) |]}$ mi $S}$$($ obszarem cienia to znaczy jest ortogonalnym rzutem na $\mathbb {R} ^{n}}$ hiperpłaszczyznę ${\ displaystyle$ ), a następnie całkując najpierw wzór Croftona na ${\ displaystyle dp}$ , a następnie na ${\ displaystyle d \ varphi}$ , otrzymujemy
  $${\ Displaystyle {\ Frac {|\ częściowe S |} {E [| T (S) |]}} = {\ Frac {| {\ tekst { kula jednostkowa w }}\mathbb {R} ^{n}|}{|{\text{jednostkowa kula w }}\mathbb {R} ^{n-1}|}}=2{\sqrt {\pi } }{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}}$$
  $twierdzenie$ szczególności ustawienie $Barbiera$ , daje klasyczny przykład „przeciętny cień ciała wypukłego wynosi 1/4 jego Generał $podaje$ uogólnienie twierdzenia Barbiera dla ciał o stałej .

Zobacz też

• Makaron Buffona
• Transformatę Radona można postrzegać jako teoretyczne uogólnienie wzoru Croftona, a wzór Croftona jest używany we wzorze inwersji k -płaszczyznowej transformacji Radona Gel'fanda i Graeva
• Długometr Steinhausa

•   Tabachnikow, Serge (2005). Geometria i bilard . AMS. s. 36–40. ISBN 0-8218-3919-5 .
•   Santalo, Luizjana (1953). Wprowadzenie do geometrii całkowej . s. 12–13, 54. LCC QA641.S3 .

Linki zewnętrzne

• Strona formuły Cauchy'ego – Croftona z apletami demonstracyjnymi
• Alicja, Bob i przeciętny cień sześcianu , wizualizacja wzoru na pole powierzchni Cauchy'ego.