Formuła Frobeniusa

_a konkretnie w teorii reprezentacji , formuła Frobeniusa , wprowadzona przez G. Frobeniusa , oblicza cechy nieredukowalnych reprezentacji grupy symetrycznej Sn . Wśród innych zastosowań, wzór może być użyty do wyprowadzenia wzoru na długość haka .

Oświadczenie

Niech będzie charakterem nieredukowalnej reprezentacji grupy symetrycznej ${\ Displaystyle$ podziałowi n $:$ n ${\ Displaystyle n = \ lambda _ {1} + \ cdots + \ lambda _ {k}}$$_ {\ lambda$ } i ${\ Displaystyle \ ell _ {j} = \ lambda _ {j} + kj}$ . Dla każdej $partycji$ , $)$$oznaczają$ odpowiadającą klasę koniugacji por przykład $poniżej$ i niech $,$ ile razy j pojawia w (więc ${\ Displaystyle \ Sigma \, i_ {j} j = n}$ ). Następnie formuła Frobeniusa stwierdza, że ​​stała wartość ${\ Displaystyle \ chi _ {\ lambda}}$ na ${\ displaystyle C (\ mu),}$

${\ Displaystyle \ chi _ {\ lambda} (C (\ mu))}$

jest współczynnikiem jednomianu w jednorodnym x $\ Displaystyle x_ {1} ^ {\ ell _ {1}} \ kropki x_ {k} ^ {\ ell _ {k}}}$ wielomian

${\ Displaystyle \ prod _ {i <j} (x_ {i} -x_ {j}) \ ;\prod _{j}P_{j}(x_{1},\kropki,x_{k})^{i_{j}},}$

gdzie $+ \ kropki + x_ {k} ^ {j}}$${\ Displaystyle P_ {j} (x_ {1}, \ kropki, x_ {k}) = x_ {1} ^ { j$$to$ -ta suma mocy .

Przykład : Weź ${\ Displaystyle n = 4}$ i ${\ Displaystyle \ lambda: 4 = 2 + 2}$ . Jeśli ${\ Displaystyle \ mu: 4 = 1 + 1 + 1 + 1}$ , co odpowiada klasie elementu tożsamości, to ${\ styl wyświetlania \chi _ {\lambda }(C(\mu))}$ jest współczynnikiem w ${\ Displaystyle x_ {1} ^ {3} x_ {2} ^ {2}}$

${\ Displaystyle (x_ {1} -x_ {2}) (x_ {1} + x_ {2}) ^ {4}}$

czyli 2. Podobnie, jeśli $)$${\ Displaystyle \ chi _ {\ lambda} (C (\ mu))}$ razy 1 podane przez

${\ Displaystyle (x_ {1} -x_ {2}) (x_ {1} + x_ {2}) ( x_{1}^{3}+x_{2}^{3}),}$

wynosi −1.

Analogi

W ( Ram 1991 ) Arun Ram podaje q -analog wzoru Frobeniusa.

Zobacz też

• Teoria reprezentacji grup symetrycznych

• Ram, Arun (1991). „Formuła Frobeniusa dla postaci algebr Heckego”. Wynalazki matematyczne . 106 (1): 461–488.
•     Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoria reprezentacji. Pierwszy kurs . Podyplomowe teksty z matematyki , Lektury z matematyki. Tom. 129. Nowy Jork: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . MR 1153249 . OCLC 246650103 .
•   Macdonald, IG Funkcje symetryczne i wielomiany Halla. Druga edycja. Oksfordzkie monografie matematyczne. Publikacje naukowe z Oksfordu. The Clarendon Press, Oxford University Press, Nowy Jork, 1995. x+475 str. ISBN 0-19-853489-2 MR 1354144