Formuła Tanaki

W rachunku stochastycznym stwierdza to wzór Tanaki na ruchy Browna

{\ Displaystyle | B_ {t} | = \ int _ {0} ^ {t} \ operatorname {sgn} (B_ {s}) \ dB_ { s}+L_{t}}

gdzie B _t jest standardowym ruchem Browna, sgn oznacza funkcję znaku

{\ Displaystyle \ operatorname {sgn} (x) = {\ rozpocząć {przypadki} + 1, & x> 0; \\ 0, & x = 0 \\ -1, & x <0 .\end{przypadki}}}

a L _t to jego czas lokalny w 0 (lokalny czas spędzony przez B w 0 przed czasem t ) określony przez granicę L ²

{\ Displaystyle L_ {t} = \ lim _ {\ varepsilon \ downarrow 0} {\ Frac {1} {2 \ varepsilon}} | \ {s \ w [0, t] | B_ {s} \ w (- \varepsilon ,+\varepsilon )\}|.}

Formułę można również rozszerzyć na semimartyngały .

Nieruchomości

Formuła Tanaki jest wyraźnym rozkładem Dooba-Meyera podmartyngału | Bt | _{_} w część martyngałową ( całka po prawej stronie, która jest ruchem Browna) i ciągły proces rosnący (czas lokalny). Można to również postrzegać jako analogię lematu Itō dla (niegładkiej) funkcji wartości bezwzględnej ${\ Displaystyle f (x) = | x |}$ z ${\ Displaystyle f' (x) = \ operatorname {sgn} (x)}$ i ${\ Displaystyle f'' (x) = 2 \ delta ( x)}$ ; zobacz czas lokalny , aby uzyskać formalne wyjaśnienie terminu Itō.

Zarys dowodu

Funkcja | _ x | nie jest C2 ^możemy w x przy x = 0, więc nie bezpośrednio zastosować wzoru Itō . Ale jeśli przybliżymy to do zera (tj. w [− ε , ε ]) przez parabole

{\ Displaystyle {\ Frac {x ^ {2}} {2 | \ varepsilon |}} + {\ Frac {| \ varepsilon |} {2}}.}

i użyjemy wzoru Itō , możemy wtedy przyjąć granicę jako ε → 0, co prowadzi do wzoru Tanaki.

Øksendal, Bernt K. (2003). Równania różniczkowe stochastyczne: wprowadzenie z aplikacjami (wyd. Szóste). Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1 . (Przykład 5.3.2)
Shiryaev, Albert N. ; trans. N. Krużylin (1999). Podstawy finansów stochastycznych: fakty, modele, teoria . Advanced Series on Statistical Science & Applied Probability nr 3. River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc. ISBN 981-02-3605-0 .