Formuła całkowa Łobaczewskiego

W matematyce całki Dirichleta odgrywają ważną rolę w teorii dystrybucji . Możemy zobaczyć całkę Dirichleta pod względem rozkładów.

Jedną z nich jest całka niewłaściwa funkcji sinc po dodatniej prostej rzeczywistej,

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {\ sin x} {x}} \, dx = \ int _ {0} ^ {\ infty}} {\ frac {\ sin ^ {2 }x}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$

Wzór całkowy Dirichleta Łobaczewskiego

Niech będzie funkcją ciągłą spełniającą $\$ okresowe założenie $)$${\ Displaystyle f (x)} fa (x)}$ i ${\ Displaystyle f (\ pi -x) = f (x)}$ , dla ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik x <\ infty}$ . Jeśli całka jest ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {\ sin x} {x}} f (x) \, dx$ } traktowana jako całka niewłaściwa Riemanna , mamy wzór na całkę Dirichleta Łobaczewskiego

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty }{\frac {\sin ^{2}x}{x^{2}}}f(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{ x}}f(x)\,dx=\int _{0}^{\pi /2}f(x)\,dx}$

Ponadto mamy następującą tożsamość jako rozszerzenie formuły całkowej Łobaczewskiego Dirichleta

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {\ sin ^ {4} x} {x ^ {4}}} f (x) \, dx = \ int _ {0} ^ { \pi /2}f(t)\,dt-{\frac {2}{3}}\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2}tf(t)\,dt. }$

Jako aplikację weź ${\ Displaystyle f (x) = 1}$ . Następnie

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {\ sin ^ {4} x} {x ^ {4}}} \, dx = {\ Frac {\ pi} {3}}. }$

•   Hardy, GH , Całka ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty}} {\ Frac {\ sin x} {x}} \, dx = {\ frac {\ pi} {2}},}$ The Mathematical Gazette , tom. 5, nr 80 (czerwiec – lipiec 1909), s. 98–103 JSTOR 3602798
•   Dixon, AC , Dowód, że ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {\ sin x} {x}} \, dx = {\ frac {\ pi} {2}},}$ The Mathematical Gazette , tom. 6, nr 96 (styczeń 1912), s. 223–224. JSTOR 3604314