Formuła kwadraturowa Gaussa-Kronroda

Formuła kwadraturowa Gaussa – Kronroda jest adaptacyjną metodą całkowania numerycznego . Jest to odmiana kwadratury Gaussa , w której punkty oceny są wybierane w taki sposób, że można obliczyć dokładne przybliżenie poprzez ponowne wykorzystanie informacji uzyskanych w wyniku obliczenia mniej dokładnego przybliżenia. Jest to przykład tak zwanej zagnieżdżonej reguły kwadraturowej: dla tego samego zestawu punktów oceny funkcji ma dwie reguły kwadraturowe, jedną wyższego rzędu i jedną niższego rzędu (ta ostatnia nazywana jest regułą osadzoną ) . Różnica między tymi dwoma przybliżeniami służy do oszacowania błędu obliczeniowego integracji.

Formuły te zostały nazwane na cześć Aleksandra Kronroda , który wynalazł je w latach 60., oraz Carla Friedricha Gaussa .

Opis

Problem w całkowaniu numerycznym polega na przybliżeniu całek oznaczonych postaci

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx.}

Takie całki można aproksymować na przykład za pomocą n -punktowej kwadratury Gaussa

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ około \ suma _ {i =1}^{n}w_{i}f(x_{i}),}

gdzie w _i , x _i są wagami i punktami oceny funkcji f ( x ).

Jeśli przedział [ a , b ] jest podzielony, punkty oceny Gaussa nowych podprzedziałów nigdy nie pokrywają się z poprzednimi punktami oceny (z wyjątkiem punktu środkowego dla nieparzystej liczby punktów oceny), a zatem całka musi być oceniana w każdym punkcie. Wzory Gaussa – $wynikowa$ $-punktowej w$ formuł kwadraturowych Gaussa generowanych przez dodanie do reguły reguła jest rzędu ${\ Displaystyle 3n + 1}$ ( Laurie (1997 , s. 1133); odpowiednia reguła Gaussa jest rzędu ${\ Displaystyle 2n-1}$ ). Te dodatkowe punkty są zerami wielomianów Stieltjesa . Pozwala to na obliczanie oszacowań wyższego rzędu przy ponownym wykorzystaniu wartości funkcji oszacowania niższego rzędu. Różnica między regułą kwadratury Gaussa a jej rozszerzeniem Kronroda jest często używana jako oszacowanie błędu aproksymacji.

Przykład

Popularny przykład łączy 7-punktową regułę Gaussa z 15-punktową regułą Kronroda ( Kahaner, Moler i Nash 1989 , §5.5). Ponieważ punkty Gaussa są włączone do punktów Kronroda, potrzebnych jest łącznie tylko 15 ocen funkcji.

(G7, K15) na [−1,1]
Węzły Gaussa		Wagi
±0,94910 79123 42759	∗	0,12948 49661 68870
±0,74153 11855 99394	∗	0,27970 53914 89277
±0,40584 51513 77397	∗	0,38183 00505 05119
0,00000 00000 00000	∗	0,41795 91836 73469
Węzły Kronroda		Wagi
±0,99145 53711 20813		0,02293 53220 10529
±0,94910 79123 42759	∗	0,06309 20926 29979
±0,86486 44233 59769		0,10479 00103 22250
±0,74153 11855 99394	∗	0,14065 32597 15525
±0,58608 72354 67691		0,16900 47266 39267
±0,40584 51513 77397	∗	0,19035 05780 64785
±0,20778 49550 07898		0,20443 29400 75298
0,00000 00000 00000	∗	0,20948 21410 84728

Całka jest następnie szacowana za pomocą reguły Kronroda, $błąd$ można oszacować ${\ Displaystyle | G7-K15 |}$ .

$]}$ dowolnego przedziału pozycje węzłów $Displaystyle [a,$ wagi są skalowane przedziału w następujący sposób: $[ za$ :

{\ Displaystyle x_ {i, {\ tekst {skalowany}}} = {\ Frac {x_ {i} + 1} {2}} (ba ) + a}

{\ Displaystyle w_ {i, {\ tekst {skalowany}}} = w_ {i} {\ Frac {ba} {2}}}

Patterson (1968) pokazał, jak znaleźć dalsze tego typu rozszerzenia, Piessens (1974) i Monegato (1978) zaproponowali udoskonalone algorytmy , a ostatecznie najbardziej wydajny algorytm zaproponował Laurie (1997) . Współczynniki poczwórnej precyzji (34 cyfry dziesiętne) dla (G7, K15), (G10, K21), (G15, K31), (G20, K41) i inne są obliczane i zestawione w tabeli.

Implementacje

Procedury dla kwadratury Gaussa-Kronroda są dostarczane przez bibliotekę QUADPACK , GNU Scientific Library , NAG Numerical Libraries , R , bibliotekę C++ Boost ., a także pakiet Julii quadGK.jl

Zobacz też

Kwadratura Clenshawa – Curtisa , kolejna zagnieżdżona reguła kwadratury o podobnej dokładności

Notatki

„Formuła kwadraturowa Gaussa – Kronroda” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
Kahaner, Dawid; Moler, Cleve ; Nash, Stephen (1989), metody numeryczne i oprogramowanie , Prentice – Hall , ISBN 978-0-13-627258-8
Kronrod, Aleksandr Semenovish (1965), Węzły i wagi formuł kwadraturowych. Szesnastomiejscowe stoły , Nowy Jork: Consultants Bureau (Tłumaczenie autoryzowane z języka rosyjskiego)
Piessens, Robert; de Doncker-Kapenga, Elise; Überhuber, Christoph W. [w języku niemieckim] ; Kahaner, David K. (1983), QUADPACK, pakiet podprogramów do automatycznej integracji , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-12553-2 (przewodnik po QUADPACK)
Patterson, Thomas NL (1968), „Optymalne dodawanie punktów do formuł kwadraturowych”, Math. Oblicz. , 22 (104): 847-856 i C1-C11, doi : 10.2307/2004583 , JSTOR 2004583 . Errata z matematyki. Oblicz. 23 : 892.
Piessens, Robert; Branders, Maria (1974), „Uwaga na temat optymalnego dodawania odciętych do kwadraturowych wzorów Gaussa i Lobatto”, Matematyka obliczeń , 28 (125): 135–139, doi : 10,2307/2005820 , JSTOR 2005820
Monegato, Giovanni (1978), „Kilka uwag na temat budowy rozszerzonych reguł kwadratury Gaussa”, Mathematics of Computation , 32 (141): 247–252, doi : 10,2307/2006272 , JSTOR 2006272
Laurie, Dirk (1997), „Obliczanie reguł kwadratury Gaussa-Kronroda”., Mathematics of Computation , 66 (219): 1133–1145, doi : 10,1090 / s0025-5718-97-00861-2

Linki zewnętrzne

QUADPACK (część SLATEC) , kod źródłowy [1] . QUADPACK to zbiór algorytmów w języku Fortran do całkowania numerycznego w oparciu o reguły Gaussa-Kronroda. SLATEC (w Netlib ) to duża biblioteka domeny publicznej do obliczeń numerycznych.
Kod źródłowy ALGLIB w językach C#, C++, Delphi i Visual Basic