Formuła ryżu

W teorii prawdopodobieństwa wzór Rice'a oblicza średnią liczbę razy, kiedy ergodyczny proces stacjonarny X ( t ) w jednostce czasu przekracza ustalony poziom u . Adler i Taylor opisują wynik jako „jeden z najważniejszych wyników w zastosowaniach gładkich procesów stochastycznych”. Formuła jest często stosowana w inżynierii.

Historia

Formuła została opublikowana przez Stephena O. Rice'a w 1944 roku, po czym została omówiona wcześniej w jego notatce z 1936 roku zatytułowanej „Singing Transmission Lines”.

Formuła

Zapisz D _u , ile razy ergodyczny stacjonarny proces stochastyczny x ( t ) przyjmuje wartość u w jednostce czasu (tj. t ∈ [0,1]). Formuła Rice'a to określa

${\ Displaystyle \ mathbb {E} (D_ {u}) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | x '| p (u, x') \ ,\mathrm {d} x'}$

gdzie p ( x , x ') jest łączną gęstością prawdopodobieństwa x ( t ) i jego średniokwadratowej pochodnej x' ( t ).

Jeśli proces x ( t ) jest procesem Gaussa i u = 0, to wzór znacznie upraszcza się, dając

${\ Displaystyle \ mathbb {E} (D_ {0}) = {\ Frac {1} {\ pi}} {\ sqrt {- \ rho '' (0) }}}$

gdzie ρ '' jest drugą pochodną znormalizowanej autokorelacji x ( t ) w punkcie 0.

Używa

Wzór Rice'a może być użyty do przybliżenia prawdopodobieństwa wycieczki

${\ Displaystyle \ mathbb {P} \ lewo \ {\ sup _ {t \ w [0,1]} X (t) \ geq u \ prawo \}}$

przy dużych wartościach u prawdopodobieństwo wystąpienia przejazdu jest w przybliżeniu prawdopodobieństwem osiągnięcia tego poziomu.