Funkcja Chandrasekhara – Kendalla

Funkcje Chandrasekhara – Kendalla to funkcje własne operatora zwijania wyprowadzone przez Subrahmanyana Chandrasekhara i PC Kendalla w 1957 r. Podczas próby rozwiązania pól magnetycznych bez siły . Funkcje zostały niezależnie wyprowadzone przez obu i obaj postanowili opublikować swoje odkrycia w tym samym artykule.

Jeśli równanie pola magnetycznego bez siły jest zapisane jako , gdzie ∇ $\ Displaystyle \ nabla \ razy \ mathbf {H} = \ lambda \ mathbf {H}$ $}$ $Displaystyle \$ polem magnetycznym i $}$ parametrem bez siły, przy założeniu swobodnego pola rozbieżności, λ { \ ogólne rozwiązanie dla przypadku osiowosymetrycznego to

{\ Displaystyle \ mathbf {H} = {\ Frac {1} {\ lambda}} \ nabla \ razy (\ nabla \ razy \ psi \mathbf {\hat {n}} )+\nabla \times \psi \mathbf {\hat {n}} }

gdzie jest wektorem jednostkowym, a funkcja skalarna spełnia równanie Helmholtza , tj. $\ mathbf {\ hat {n}}$ $Displaystyle$

{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi + \ lambda ^ {2} \ psi = 0.}

To samo równanie pojawia się również w $,$ z dynamiki płynów, gdzie wirowości równoległy do wektora prędkości .

Pochodzenie

$Biorąc podkręcenie$ i otrzymujemy

{\ Displaystyle \ nabla \ razy (\ nabla \ razy \ mathbf {H}) = \ lambda ^ {2} \ mathbf {H}}

.

W tożsamości wektora ${\ Displaystyle \ nabla \ razy \ lewo (\ nabla \ razy \ mathbf {H} \ prawej) = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {H} } - \ nabla ^ {2} \ mathbf {H}}$ , możemy ustawić ${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {H} = 0},$ ponieważ jest solenoidalny, co prowadzi do wektorowego równania Helmholtza ,

{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {H} + \ lambda ^ {2} \ mathbf {H} = 0}

.

Każde rozwiązanie powyższego równania nie jest rozwiązaniem pierwotnego równania, ale odwrotność jest prawdziwa. Jeśli $funkcją skalarną,$ ${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi + \ lambda ^ {2} \ psi = 0}$ spełnia równanie , to trzy liniowo niezależne rozwiązania wektorowego równania Helmholtza podane są przez

{\ Displaystyle \ mathbf {L} = \ nabla \ psi, \ quad \ mathbf {T} = \ nabla \ razy \ psi \ mathbf {\hat {n}} ,\quad \mathbf {S} ={\frac {1}{\lambda}}\nabla \times \mathbf {T}}

gdzie ${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {n}}}$ jest ustalonym wektorem jednostkowym. Ponieważ ${\ Displaystyle \ nabla \ razy \ mathbf {S} = \ lambda \ mathbf {T}}$ , można stwierdzić, że ${\ styl wyświetlania \nabla \times (\mathbf {S} +\mathbf {T} )=\lambda (\mathbf {S} +\mathbf {T} )}$ . Ale to jest to samo, co oryginalne równanie, dlatego gdzie jest ${\ Displaystyle \ mathbf {H} = \ mathbf {S} + \ mathbf {T$ $} pole$ $pole$ i toroidalne. Zatem zastępując w ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$ , otrzymujemy najbardziej ogólne rozwiązanie jako ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$

{\ Displaystyle \ mathbf {H} = {\ Frac {1} {\ lambda}} \ nabla \ razy (\ nabla \ razy \ psi \ mathbf {\ kapelusz {n}}) + \ nabla \ razy \ psi \ mathbf {\ kapelusz {n}} .}

Cylindryczne współrzędne biegunowe

Biorąc wektor jednostkowy w $\$ , tj. $Displaystyle \ mathbf {\ hat {n}} = \ mathbf {e} _ {z}}$ , z okresowością ${ \ displaystyle L}$ $w$ kierunku znikającymi warunkami brzegowymi w $za {\ displaystyle r = a}$ rozwiązanie jest podane przez

{\ Displaystyle \ psi = J_ {m} (\ mu _ {j} r )e^{im\theta +ikz},\quad \lambda =\pm (\mu _{j}^{2}+k^{2})^{1/2}}

gdzie jest funkcją Bessela, $k$ $, \ n = 0,1,2, \ ldots}$ , liczby całkowite ${\ Displaystyle m = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots}$ i ${\ Displaystyle \ mu _ { j}}$ jest określony przez warunek brzegowy ${\ Displaystyle ak \ mu _ {j} J_ {m} '( \ mu _ {j} a) + m \ lambda J_ {m} (\ mu _ {j} a) = 0.} Wartości własne$ dla ${\ Displaystyle m = n = 0}$ należy rozpatrywać osobno . Ponieważ tutaj $}$ możemy myśleć o $\$ i $Displaystyle$ kierunek ma być poloidalny, zgodny z konwencją.

Zobacz też