Funkcja H Chandrasekhara

H Chandrasekhara dla różnych albedo

W promieniowaniu atmosferycznym funkcja H Chandrasekhara pojawia się jako rozwiązanie problemów związanych z rozpraszaniem, wprowadzonych przez indyjsko -amerykańskiego astrofizyka Subrahmanyana Chandrasekhara . Funkcja ${\ Displaystyle H (\ mu)}$ Chandrasekhara zdefiniowana w przedziale spełnia następujące nieliniowe równanie całkowe H. ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik \ mu \ równoważnik 1}$

{\ Displaystyle H (\ mu) = 1 + \ mu H (\ mu) \ int _{0}^{1}{\frac {\Psi (\mu ')}{\mu +\mu '}}H(\mu')\,d\mu '}

gdzie funkcja charakterystyczna jest parzystym wielomianem $\ Displaystyle$ następujący warunek $\ Psi (\ mu) }$

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ Psi (\ mu) \ d \ mu \ równoważnik {\ Frac {1} {2}}}

.

Jeśli równość jest spełniona w powyższym warunku, nazywa się to przypadkiem konserwatywnym , w przeciwnym razie niekonserwatywnym . Albedo jest podane przez ${\ Displaystyle \ omega _ {o} = 2 \ Psi (\ mu) = {\ tekst {stała}}}$ . Alternatywna forma, która byłaby bardziej użyteczna w numerycznym obliczaniu H przez iterację, została wyprowadzona przez Chandrasekhara jako:

{\ Displaystyle {\ Frac {1}{H(\mu)}}=\left[1-2\int _{0}^{1}\Psi (\mu)\,d\mu \right]^{1/2}+\ int _{0}^{1}{\frac {\mu '\Psi (\mu ')}{\mu +\mu '}}H(\mu')\,d\mu'}

.

W przypadku konserwatywnym powyższe równanie sprowadza się do

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {H (\ mu)}} = \ int _ {0 }^{1}{\frac {\mu '\Psi (\mu')}{\mu +\mu '}}H(\mu')d\mu'}

.

Przybliżenie

Funkcję H można przybliżyć do rzędu as. n $\ displaystyle n}$

{\ Displaystyle H (\ mu) = {\ Frac {1} {\ mu _ {1}\cdots \mu _{n}}}{\frac {\prod _{i=1}^{n}(\mu +\mu _{i})}{\prod _{\alpha}( 1+k_{\alfa}\mu )}}}

gdzie ${i}}$ $pierwiastkami$ $są$ _ to zera wielomianów Legendre'a , nie powiązane równanie charakterystyczne

{\ Displaystyle 1 = 2 \ suma _ {j = 1} ^ {n} {\ Frac {a_ {j} \ psi (\mu _{j})}{1-k^{2}\mu _{j}^{2}}}}

gdzie są wagi kwadraturowe podane przez $\ displaystyle a_ {j}}$

{\ Displaystyle a_ {j} = {\ Frac {1} {P_ {2n} ' (\mu _{j})}}\int _{-1}^{1}{\frac {P_{2n}(\mu _{j})}{\mu -\mu _{j}}} \,d\mu _{j}}

Rozwiązanie jawne na płaszczyźnie zespolonej

W zmiennej $równanie$ H jest

{\ Displaystyle H (z) = 1- \ int _ {0} ^ {1} {\ Frac {z} {z + \ mu}} H (\ mu) \ Psi (\ mu) \ ,d\mu ,\quad \int _{0}^{1}|\Psi (\mu)|\,d\mu \leq {\frac {1}{2}},\quad \int _{0 }^{\delta }|\Psi (\mu )|\,d\mu \rightarrow 0,\ \delta \rightarrow 0}

wtedy dla ${\ Displaystyle \ Re (z)> 0}$ unikalne rozwiązanie jest podane przez ℜ ( z ) > {\ Displaystyle \ Re (z)> 0}

{\ Displaystyle \ ln H (z) = {\ Frac {1} {2 \pi i}}\int _{-i\infty }^{+i\infty }\ln T(w){\frac {z}{w^{2}-z^{2}}}\,dw }

${\ Displaystyle z ^ {2} = u + iv = u \ (v = 0)}$ urojona część funkcji może zniknąć, jeśli rzeczywista, tj. $) T ( z )$ $Displaystyle$ . Następnie mamy

{\ Displaystyle T (z) = 1-2 \ int _ {0} ^ {1}\Psi (\mu )\,d\mu -2\int _{0}^{1}{\frac {\mu ^{2}\Psi (\mu )}{u-\mu ^{ 2}}}\,d\mu }

$dla$ w przedziale konserwatywnych W przypadkach niekonserwatywnych, jeśli równanie $\ Displaystyle T ($ , to istnieje dalsze rozwiązanie podane przez $) = 0$

{\ Displaystyle H_ {1} (z) = H (z) {\ Frac {1 + kz} {1-kz}}}

Nieruchomości

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} H (\ mu) \ Psi (\mu )\,d\mu =1-\left[1-2\int _{0}^{1}\Psi (\mu )\,d\mu \right]^{1/2}}$ . W przypadku konserwatywnym zmniejsza się to do ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ Psi (\ mu) d \ mu = {\ Frac {1} {2} }}$ .
${\ Displaystyle \ lewo [1-2 \ int _ {0} ^ {1} \ psi (\ mu) \ d \ mu \ prawo] ^ {1/2} \ int _{0}^{1}H(\mu)\Psi (\mu)\mu ^{2}\,d\mu +{\frac {1}{2}}\left[\int _{0 }^{1}H(\mu)\Psi (\mu)\mu \,d\mu \right]^{2}=\int _{0}^{1}\Psi (\mu)\mu ^ {2}\,d\mu }$ . W przypadku konserwatywnym zmniejsza się to do ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} H(\mu)\Psi (\mu)\mu d\mu =\left[2\int _{0}^{1}\Psi (\mu)\mu ^{2}d\mu \right]^ {1/2}}$ .
Jeśli funkcja charakterystyczna to ${\ Displaystyle \ Psi (\ mu) = a + b \ mu ^ {2}}$ , gdzie ${\ Displaystyle a, b}$ to dwie stałe Ψ ( μ ) = (musi spełniać ${\ Displaystyle a + b/3 \ równoważnik 1/2}$ ) i jeśli ${\ Displaystyle \alpha _{n}=\int _{0}^{1}H(\mu )\mu ^{n}\,d\mu ,\ n\geq 1} to n-ty moment funkcji$ H , więc mamy