Funkcja X i Y Chandrasekhara

W promieniowaniu atmosferycznym funkcje X i Y Chandrasekhara pojawiają się jako rozwiązania problemów związanych z dyfuzyjnym odbiciem i transmisją, wprowadzone przez indyjsko-amerykańskiego astrofizyka Subrahmanyana Chandrasekhara . Funkcja X - i Y Chandrasekhara jest zdefiniowana w przedziale ${\ Displaystyle X (\ mu), \ Y (\ mu)}$ określone w przedziale ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik \ mu \ leq 1}$ , spełnia parę nieliniowych równań całkowych

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane } X(\mu )&=1+\mu \int _{0}^{1}{\frac {\Psi (\mu ')}{\mu +\mu '}}[X(\mu)X (\mu ')-Y(\mu )Y(\mu ')]\,d\mu ',\\[5pt]Y(\mu )&=e^{-\tau _{1}/\mu }+\mu \int _{0}^{1}{\frac {\Psi (\mu ')}{\mu -\mu '}}[Y(\mu)X(\mu ')-X( \mu )Y(\mu ')]\,d\mu '\end{wyrównane}}}$

gdzie funkcja charakterystyczna jest parzystym wielomianem w $\ Displaystyle$ spełniającym warunek $\ Psi (\ mu) }$

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ psi (\ mu) \ d \ mu \ równoważnik {\ Frac {1} {2}},}$

i ${\ Displaystyle 0 <\ tau _ {1}<\ infty}$ to optyczna grubość atmosfery. Jeśli równość jest spełniona w powyższym warunku, nazywa się to przypadkiem konserwatywnym , w przeciwnym razie niekonserwatywnym . Funkcje te są powiązane z funkcją H Chandrasekhara as

${\ Displaystyle X (\ mu) \ strzałka w prawo H (\ mu), \ quad Y (\ mu) \ strzałka w prawo 0 \ {\ tekst {as}}\ \tau _{1}\rightarrow \infty }$

i również

${\ Displaystyle X (\ mu) \ strzałka w prawo 1, \ quad Y (\ mu) \ strzałka w prawo e ^ {- \ tau _{1}/\mu }\ {\text{as}}\ \tau _{1}\rightarrow 0.}$

Przybliżenie

X ${\ displaystyle X}$ i ${\ displaystyle Y}$ można przybliżyć do n- tego jako

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} X (\ mu) & = {\ Frac {(( -1)^{n}}{\mu _{1}\cdots \mu _{n}}}{\frac {1}{[C_{0}^{2}(0)-C_{1}^ {2}(0)]^{1/2}}}{\frac {1}{W(\mu)}}[P(-\mu)C_{0}(-\mu)-e^{- \tau _{1}/\mu }P(\mu)C_{1}(\mu)],\\[5pt]Y(\mu)&={\frac {(-1)^{n}} {\mu _{1}\cdots \mu _{n}}}{\frac {1}{[C_{0}^{2}(0)-C_{1}^{2}(0)]^ {1/2}}}{\frac {1}{W(\mu)}}[e^{-\tau _{1}/\mu}P(\mu)C_{0}(\mu)- P(-\mu )C_{1}(-\mu )]\end{wyrównane}}}$

gdzie i ${\ Displaystyle P (\ mu) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} (\ mu - \ mu _ {i})} gdzie μ ja {\ Displaystyle \ mu$ rzędu n (patrz Chandrasekhar rozdział VIII równanie (97 $)$$)$ _ $} }$ są zerami wielomianów Legendre'a i ${\ Displaystyle W (\ mu) = \ prod _ {\ alfa = 1} ^ {n} ( 1- k _ {\ alfa} ^ {2} \ mu ^ {2}}}$$,$ gdzie są dodatnimi, nie znikającymi pierwiastkami powiązanego

${\ Displaystyle 1 = 2 \ suma _ {j = 1} ^ {n} {\ Frac {a_ {j} \ psi (\mu _{j})}{1-k^{2}\mu _{j}^{2}}}}$

gdzie są kwadraturowymi wagami podanymi przez $\ displaystyle a_ {j}}$

$\ Displaystyle a_ {j} = {\ Frac {1} {P_ {2n} ' (\mu _{j})}}\int _{-1}^{1}{\frac {P_{2n}(\mu _{j})}{\mu -\mu _{j}}} \,d\mu _{j}}$

Nieruchomości

• całkowo- X $, \ Y (\ mu, \ tau _ {1})}$ ) τ $_ {1}}$$tau$ , to rozwiązania dla innych wartości uzyskuje się z następujących

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane}} {\ Frac {\ częściowe X (\ mu,\tau _{1})}{\częściowe \tau_{1}}}&=Y(\mu,\tau _{1})\int _{0}^{1}{\frac {d \mu '}{\mu '}}\Psi (\mu ')Y(\mu ',\tau _{1}),\\{\frac {\częściowy Y(\mu,\tau _{1} )}{\częściowe \tau _{1}}}+{\frac {Y(\mu,\tau _{1})}{\mu}}&=X(\mu,\tau _{1}) \int _{0}^{1}{\frac {d\mu '}{\mu '}}\Psi (\mu ')Y(\mu ',\tau _{1})\end{wyrównane} }}$

• ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} X (\ mu) \ Psi (\ mu) \, d \ mu = 1- \ lewo [1-2 \ int _ {0} ^ {1} \ psi (\mu )\,d\mu +\left\{\int _{0}^{1}Y(\mu )\Psi (\mu )\,d\mu \right\}^{2}\right ] ^ {1/2}.}$ W przypadku konserwatywnym ta całka zmniejsza się do ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1}[X(\mu )+Y(\mu )]\Psi (\mu )\,d\mu =1.}$
• Jeśli skróty ${\ Displaystyle x_ {n} = \ int _ {0} ^ {1} X (\ mu) \ psi (\ mu) \ mu ^ {n }\,d\mu ,\ y_{n}=\int _{0}^{1}Y(\mu )\Psi (\mu )\mu ^{n}\,d\mu ,\ \alpha _ {n}=\int _{0}^{1}X(\mu )\mu ^{n}\,d\mu ,\ \beta _{n}=\int _{0}^{1}Y (\mu )\mu ^{n}\,d\mu }$ dla zwięzłości są wprowadzone, to mamy relację stwierdzającą ${\ Displaystyle (1-x_ {0}) x_ {2} + y_ {0} y_ {2} + {\ Frac {1} {2}} (x_ {1} ^ {2} -y_ {1} ^ {2})=\int _{0}^{1}\Psi (\mu )\mu ^{2}\,d\mu .}$ W konserwatywnej wersji równanie to sprowadza się do ${\ Displaystyle y_ {0} (x_ {2} + y_ {2}) + {\ Frac {1} {2} }(x_{1}^{2}-y_{1}^{2})=\int _{0}^{1}\Psi (\mu)\mu ^{2}\,d\mu}$
• Jeśli funkcją charakterystyczną jest ${\ Displaystyle \ Psi (\ mu) = a + b \ mu ^ {2}}$ , gdzie są dwie stałe ${\ Displaystyle a, b}$$\ Frac {1} 2}}[a(\alpha _{0}^{2}-\beta _{0}^{2})+b(\alpha _{1}^{2}-\beta _{1}^{ 2})]}$ za .
• W przypadku konserwatywnym rozwiązania nie są unikalne. Jeśli ${\ Displaystyle X (\ mu), \ Y (\ mu)}$ są rozwiązaniami pierwotnego równania, to także te dwie funkcje ${\ Displaystyle F (\ mu) = X (\ mu) +Q\mu [X(\mu )+Y(\mu )],\ G(\mu )=Y(\mu )+Q\mu [X(\mu )+Y(\mu )]} ,$ gdzie ${\ displaystyle Q}$ jest dowolną stałą.

Zobacz też

• Funkcja H Chandrasekhara