Funkcja Hilberta-Kunza

W algebrze funkcja Hilberta – Kunza lokalnego pierścienia ( R , m ) o pierwszej charakterystyce p jest funkcją

${\ Displaystyle f (q) = \ operatorname {długość} _ {R} (R / m ^ {[q]})}$

gdzie q jest potęgą p a m ^{[ q ]} jest ideałem generowanym przez q -te potęgi elementów ideału maksymalnego m .

Pojęcie zostało wprowadzone przez Ernsta Kunza, który użył go do scharakteryzowania regularnego pierścienia jako pierścienia noetherowskiego , w którym morfizm Frobeniusa jest płaski . Jeśli d jest wymiarem lokalnego pierścienia, Monsky pokazał, że f(q)/(q^d) to c+O(1/q) dla pewnej rzeczywistej stałej c. Ta stała, krotność „Hilberta-Kunza”, jest większa lub równa 1. Watanabe i Yoshida wzmocnili niektóre wyniki Kunza, pokazując, że w przypadku niezmieszanym pierścień jest regularny dokładnie wtedy, gdy c = 1.

Funkcje i krotności Hilberta-Kunza badano dla nich samych. Brenner i Trivedi potraktowali lokalne pierścienie pochodzące z jednorodnych pierścieni współrzędnych gładkich krzywych rzutowych, używając technik z geometrii algebraicznej. Han, Monsky i Teixeira potraktowali ukośne hiperpowierzchnie i różne pokrewne hiperpowierzchnie. Ale nie ma znanej techniki określania funkcji Hilberta-Kunza lub c w ogóle. W szczególności kwestia, czy c jest zawsze racjonalna, została rozstrzygnięta dopiero niedawno (przez Brennera — nie musi być, a nawet może być transcendentalna). Hochster i Huneke powiązali krotności Hilberta-Kunza z „ciasnym zamknięciem”, a Brenner i Monsky użyli funkcji Hilberta – Kunza, aby pokazać, że lokalizacja nie musi zachowywać ścisłego zamknięcia. Zwrócono również uwagę na pytanie, jak c zachowuje się, gdy charakterystyka dąży do nieskończoności (powiedzmy dla hiperpowierzchni określonej wielomianem o współczynnikach całkowitych); po raz kolejny pojawia się mnóstwo otwartych pytań.

Obszerny przegląd można znaleźć w artykule Craiga Huneke'a „Multiplicities Hilbert-Kunz and the F-signature” arXiv: 1409.0467. Ten artykuł znajduje się również na stronach 485-525 tomu Springera „Algebra komutacyjna: dokumenty ekspozycyjne dedykowane Davidowi Eisenbudowi z okazji jego 65. urodzin”, pod redakcją Ireny Peevy.

Bibliografia

• E. Kunz, „O pierścieniach noetherowskich o charakterystycznym p”, Am. J. Matematyka, 98, (1976), 999–1013. 1
• Edward Miller, Lance; Swanson, Irena (2012). „Funkcje Hilberta-Kunza 2 x 2 pierścienie wyznacznikowe”. ar Xiv : 1206.1015 .