Funkcja Kummera

W matematyce istnieje kilka funkcji znanych jako funkcja Kummera . Jedna jest znana jako zlewająca się funkcja hipergeometryczna Kummera. Kolejny, zdefiniowany poniżej, jest związany z polilogarytmem . Oba noszą imię Ernsta Kummera .

Funkcja Kummera jest zdefiniowana przez

${\ Displaystyle \ Lambda _ {n} (z) = \ int _ {0} ^ {z} {\ Frac {\ log ^ {n-1} | t | {1 + t}} \; dt.}$

Formuła powielania jest

${\ Displaystyle \ Lambda _ {n} (z) + \ Lambda _ {n} (- z) = 2 ^ {1-n}\Lambda _{n}(-z^{2})}$ .

Porównaj to ze wzorem powielania dla polilogarytmu:

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Li} _ {n} (z) + \ nazwa operatora {Li} _ {n} (-z) = 2 ^ {1-n} \ nazwa operatora {Li} _ {n} (z ^ { 2}).}$

Wyraźny link do polilogarytmu jest podany przez

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Li} _ {n} (z) = \ nazwa operatora {Li} _ {n} (1) \; \; + \; \; \ suma _ {k = 1} ^ {n-1 }(-)^{k-1}\;{\frac {\log ^{k}|z|}{k!}}\;\operatorname {Li} _{nk}(z)\;\;+ \;\;{\frac {(-)^{n-1}}{(n-1)!}}\;\left[\Lambda _{n}(-1)-\Lambda _{n}( -z)\right].}$

•   Lewin, Leonard, wyd. (1991), Właściwości strukturalne polilogarytmów , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4532-2 .