Funkcja Lommla

Równanie różniczkowe Lommela , nazwane na cześć Eugena von Lommela , jest niejednorodną postacią równania różniczkowego Bessela :

{\ Displaystyle z ^ {2} {\ Frac {d ^ {2} y} {dz ^ {2}}} + Z {\ Frac {dy} {dz}} + (z ^ {2} - \ nu ^ {2})y=z^{\mu +1}.}

Rozwiązania dają funkcje Lommela s _μ,ν ( z ) i S _{μ, ν} ( z ), wprowadzone przez Eugena von Lommela ( 1880 ),

{\ Displaystyle s _ {\ mu, \ nu} (z) = {\ Frac {\ pi} {2}} \ lewo [Y_ {\ nu} (z) \! \ int _ {0} ^ {z} \ !\!x^{\mu }J_{\nu }(x)\,dx-J_{\nu }(z)\!\int _{0}^{z}\!\!x^{\mu }Y_{\nu }(x)\,dx\right],}

{\ Displaystyle S _ {\ mu, \ nu} (z) = s _ {\ mu, \ nu} (z) + 2 ^ {\ mu -1} \ Gamma \ lewo ({\ Frac {\ mu + \ nu + 1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {\mu -\nu +1}{2}}\right)\left(\sin \left[(\mu -\nu ){\ frac {\pi }{2}}\right]J_{\nu }(z)-\cos \left[(\mu -\nu ){\frac {\pi }{2}}\right]Y_{\ nu }(z)\right),}

gdzie J _ν ( z ) jest funkcją Bessela pierwszego rodzaju, a Y _ν ( z ) jest funkcją Bessela drugiego rodzaju.

Zobacz też

Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm ; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1953), Wyższe funkcje transcendentalne. Tom II (PDF) , McGraw-Hill Book Company, Inc., Nowy Jork-Toronto-Londyn, MR 0058756
Lommel, E. (1875), „Ueber eine mit den Bessel'schen Functionen verwandte Function” , Math. Ann. , 9 (3): 425–444, doi : 10.1007/BF01443342
Lommel, E. (1880), "Zur Theorie der Bessel'schen Funktionen IV", Math. Ann. , 16 (2): 183–208, doi : 10.1007/BF01446386
Paryż, RB (2010), „Funkcja Lommela” , w: Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248
Solomentsev, ED (2001) [1994], „Funkcja Lommla” , Encyklopedia matematyki , EMS Press

Weisstein, Eric W. „Równanie różniczkowe Lommla”. Z MathWorld — zasób internetowy firmy Wolfram.
Weisstein, Eric W. „Funkcja Lommela”. Z MathWorld — zasób internetowy firmy Wolfram.