Funkcja jądra do rozwiązywania równań całkowych wymiany promieniowania powierzchniowego

W fizyce i inżynierii radiacyjny transfer ciepła z jednej powierzchni na drugą jest równy różnicy promieniowania przychodzącego i wychodzącego z pierwszej powierzchni. Ogólnie rzecz biorąc, przenoszenie ciepła między powierzchniami zależy od temperatury, emisyjnych powierzchni i geometrii powierzchni. Zależność wymiany ciepła można zapisać jako równanie całkowe z warunkami brzegowymi opartymi na warunkach powierzchniowych. Funkcje jądra może być przydatne w przybliżaniu i rozwiązywaniu tego równania całkowego.

Równanie rządzące

Radiacyjna wymiana ciepła zależy od lokalnej temperatury powierzchni obudowy i właściwości powierzchni, ale nie zależy od mediów. Ponieważ media nie pochłaniają, nie emitują ani nie rozpraszają promieniowania.

Obowiązujące równanie wymiany ciepła między dwiema powierzchniami A _i oraz A _j

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} q (r_ {i}) = {} & \ int _ {\ lambda = 0} ^ {\ infty} \ int _ {\ psi _ {i} = 0} ^ {2 \pi }\int _{\theta _{i}=0}^{\frac {\pi }{2}}\varepsilon _{\lambda ,i}(\lambda ,\psi _{i},\theta _{i},r_{i})I_{b\lambda ,i}(\cos \theta _{i}\sin \theta _{i})\,d\theta _{i}\,d\psi _{i}\,d\lambda \\&-\sum _{j=1}^{N}\int _{\lambda =0}^{\infty }\rho _{\lambda ,i}(\ lambda ,\psi _{r,j},\theta _{r,j},\psi _{j},\theta _{j},r_{i})I_{\lambda ,k}(\lambda , \psi _{k},\theta _{k},r_{i}){\frac {\cos \theta _{j}\cos \theta _{k}}{|r_{k}-r_{j }|^{2}}}\,dA_{k}\end{wyrównane}}}

Gdzie

${\ displaystyle \ lambda}$ to długość fali promieni promieniowania,
${\ displaystyle I}$ to intensywność promieniowania,
${\ Displaystyle \ varepsilon}$ to emisyjność,
${\ displaystyle r}$ to współczynnik odbicia,
${\ displaystyle \ theta}$ jest kątem między normalną powierzchni a kierunkiem wymiany promieniowania oraz
jest kątem azymutalnym. ${\ displaystyle \ psi}$

Jeżeli powierzchnia obudowy jest w przybliżeniu powierzchnią szarą i rozproszoną, to powyższe równanie można zapisać tak, jak po procedurze analitycznej

{\ Displaystyle q (r) + \ varepsilon (r) E_ {b} = \ varepsilon (r) \ oint K (r, r ') \ lewo [E_ {b} (r ') + 1- {\ frac { \varepsilon (r')}{\varepsilon (r)}}d\Gamma (r')\right]}

gdzie jest mocą emisyjną ciała

doskonale czarnego, która

funkcja temperatury ciała doskonale czarnego

{\ Displaystyle E_ {b} (r) = \ sigma T ^ {4} (r)}

gdzie jest

stałą

– Boltzmanna .

Funkcja jądra

Funkcje jądra zapewniają sposób manipulowania danymi tak, jakby były rzutowane na przestrzeń o wyższych wymiarach, poprzez operowanie na nich w ich oryginalnej przestrzeni. Aby łatwiej było rozdzielić dane w przestrzeni wielowymiarowej. Funkcja jądra jest również używana w równaniu całkowym wymiany promieniowania powierzchniowego. Funkcja jądra odnosi się zarówno do geometrii obudowy, jak i właściwości jej powierzchni. Funkcja jądra zależy od geometrii ciała.

W powyższym równaniu K ( r , r′ ) jest funkcją jądra dla całki, która dla problemów 3-D przyjmuje następującą postać

{\ Displaystyle K (r, r ') = - {\ Frac {n (rr') n' (rr')} {\ pi | rr '| ^ {4}}} F = {\ Frac {\ cos \ theta _{r}\cos \theta _{r}'}{\pi |rr'|^{4}}}F}

gdzie F przyjmuje wartość jeden, gdy element powierzchni I widzi element powierzchni J , w przeciwnym razie wynosi zero, jeśli promień jest zablokowany, a θr jest kątem w punkcie r , a θr ′ w punkcie r ′. Parametr F zależy od konfiguracji geometrycznej korpusu, więc funkcja jądra jest wysoce nieregularna dla geometrycznie złożonej obudowy.

Równanie jądra dla geometrii 2-D i osiowosymetrycznej

W przypadku konfiguracji 2-D i konfiguracji osiowosymetrycznych funkcję jądra można analitycznie zintegrować wzdłuż kierunku z lub θ . Integracja funkcji jądra jest

{\ Displaystyle K (r, r') = - \ iint F {\ Frac {n (rr') n' (rr')} {\ pi | rr '| ^ {4}}} \, dz' \,dz={\frac {n(rr')n'(rr')}{\pi |rr'|^{4}}}F}

Tutaj n oznacza normalną jednostkową elementu I przy kącie azymutu φ ′ równym zero, a n ′ odnosi się do normalnej jednostkowej elementu J przy dowolnym kącie azymutu ϕ ′. Wyrażenia matematyczne dla n i n ′ są następujące:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} n & = (\ cos \ teta, 0, \ sin \ teta) \\ n '& = (\ cos \ teta '\ sin \ phi', \ cos \ teta '\ sin \ phi ',\sin \theta')\end{wyrównane}}}

Podstawiając te wyrażenia do równania, funkcja jądra jest przestawiana pod względem kąta azymutu ϕ'-

{\ Displaystyle K (\ phi ') = {\ frac {(c'+d\cos \phi ')(c''+d\cos \phi ')}{\pi (c+d\cos \phi ')^{2}}}F}

Gdzie

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} c & = r_ {i} ^ {2} + r_ {j} ^ {2} + Z_ {j} ^ {2}\\d&=-2r_{i}r_{j}\\c'&=Z_{j}\sin \theta -r_{i}\cos \theta \\d'&=r_{j}\ cos \theta \\c''&=Z_{j}\sin \theta '+r_{j}\cos \theta '\\d''&=-r_{i}\cos \theta '\end{wyrównane }}}

Relacja

{\ Displaystyle {\ Frac {d \ lewo \ {\ arctan \ lewo ({\sqrt {\frac {cd}{c+d}}}\tan {\frac {\phi}}{2}}\right)\right\}}{dx}}={\frac {\sqrt { c^{2}-d^{2}}}{2(c+d\cos \phi )}}}

dotyczy tego konkretnego przypadku.

Końcowym wyrażeniem funkcji jądra jest

{\ Displaystyle {\ bar {k}} (\ phi) = 2 \ int _ {0} ^ {\ phi} k (\ phi ') \, d \ phi '= - {\ Frac {2} {\ pi }}\left[A\phi +b\arctan \left({\sqrt {\frac {cd}{c+d}}}\tan {\frac {\phi }{2}}\right)+C{ \frac {\sin \phi }{c+d\cos \phi}}\right]}

Gdzie

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} A & = {\ Frac {d'd''} {d ^ {2}} }\\B&=2{\frac {(c^{2}-d^{2})(d'f+ed'')+cdef}{d(c^{2}-d^{2}) {\sqrt {c^{2}-d^{2}}}}}\\C&={\frac {def}{d^{2}-c^{2}}}\\e&={\frac {dc'-cd'}{d}}\\f&={\frac {dc''-cd''}{d}}\end{wyrównane}}}

Robert Siegel, Wymiana ciepła przez promieniowanie cieplne, wydanie czwarte
Ben Q. Li, „Nieciągły element skończony w dynamice płynów i wymianie ciepła”
JR Mahan : podejście statystyczne, tom 1
Richard M. Goody Yuk Ling Yung Promieniowanie atmosferyczne
KG Terry Hollands „Rozwiązywanie równań całkowych uproszczonego-Fredholma i jego zastosowanie w promieniowaniu cieplnym”
Michael F. Skromny radiacyjny transfer ciepła

Linki zewnętrzne